环面

圆环面可以参数式地定义为：

${\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}$ 

${\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}$ 

${\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}$ 

其中

u, v ∈ [0, 2π],

R是管子的中心到画面的中心的距离，

r是圆管的半径。

直角坐标系中的关于z-轴方位角对称的环面方程是

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 

该圆环面的表面积和内部体积如下

${\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,}$ 

${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,}$ 

根据更一般的定义，环面的生成元不必是圆，而可以是椭圆或任何圆锥曲线。

拓扑学上，一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面：S¹ × S¹。 上述曲面，若采用R³诱导的相对拓扑，则同胚于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交。

该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述，这是通过如下的等价关系来完成的

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)

或者等价地说，作为单位正方形将对边粘合的商空间，表述为基本多边形 ${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$ 。

环面的基本群是圆的基本群和自身的直积：

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ 

直观地讲，这意味着一个先绕着环面的“洞”（譬如，沿着某个纬度方向的圆）然后绕着环面“实体”（譬如，沿着特定经度方向的圆）的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以，严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。

环面的第一同调群和基本群同构（因为基本群是交换群）。

环面很容易推广到任意维。n维标准环面可以定义为 n 个标准圆的乘积：

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}}$ 

上面所述的环面就是 ${\displaystyle n}$  维环面。 ${\displaystyle 1}$  维环面就是圆。 ${\displaystyle 3}$  维环面很难描述。和 ${\displaystyle 2}$  维环面一样， ${\displaystyle n}$  维环面可以表述为 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即， ${\displaystyle n}$  维环面是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  模(modulo)整数格点 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$  的群作用（该作用就是向量和）。等价地说，${\displaystyle n}$  维环面是 ${\displaystyle n}$  维立方体把相对的面两两粘合起来得到的空间。

${\displaystyle n}$  维环是 ${\displaystyle n}$  维紧致流形的一个例子。它也是紧致可交换李群的一个例子。这是因为单位圆是一个紧致可交换李群（如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看）。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。

环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面；也就是最大可能维度的闭子群环面。

${\displaystyle n}$  维环面的基本群是一个n阶自由可交换群。 ${\displaystyle n}$  维环面的 ${\displaystyle k}$  阶同调群是 ${\displaystyle n}$  取 ${\displaystyle k}$  阶的自由可交换群。因此可以推出 ${\displaystyle n}$  维环面的欧拉示性数 是0。上同调环H^·(Tⁿ,Z)可以等同为Z-模 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ 上的外代数，其生成元为 ${\displaystyle n}$  非平凡闭链的对偶。

如果把环面分成若干区域，那么总是可以用最多7种颜色来着色，使得每对相邻区域有不同的颜色。（这和四色问题不同。）在下面的例子中，环面被分为7个区域，两两相邻，说明7色是必须的： 

• 代数环面
• 圆环
• 环圈
• 椭圆曲线
• 极大环面
• 周期格
• 球面
• 曲面
• 环体
• 环面 (原子物理)
• Villarceau圆
• 环面曲线

• 环面的建立 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 位于网站
• 更多环的图像 （页面存档备份，存于互联网档案馆） (位于 趣味数学 （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• Eric W. Weisstein. "环面." 位于MathWorld--Wolfram网络资源。 http://mathworld.wolfram.com/Torus.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 气泡圈的图像和视频 位于David Whiteis的BubbleRings.com