模

假设R 是环(ring)且1_R ∈ R，1_R 是其乘法运算的单位元，则左R-模包括一个交换群(M, +)，以及一个映射(或运算)⋅ : R × M → M (叫做标量乘法或数积，通常把此运算的值 (r,x) 记作 rx 或是 r ⋅ x，r ∈ R 且 x ∈ M ) ，并且满足以下条件

对所有r,s ∈ R, x,y ∈ M,

1. ${\displaystyle (r\cdot s)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}$ 
2. ${\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$ 
3. ${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$ 
4. ${\displaystyle 1_{R}\cdot x=x.}$ 

有数学家的左模定义并不要求环有单位乘法元素1_R，所以他们的定义只含以上前三个条件而排除了第四个条件，并把以上的定义称为"带单位元(1_R )的左模"。

一个左R-模M 记作_RM，类似的右R-模M 记作M_R。

一个右R-模M或M_R与左R-模的定义相似，只是环的元素在右边，即其标量乘法是⋅ : M × R → M。在左R-模的定义中，环的元素r 和s 是在M 的元素x 的左边。若R 是可交换的，则左R-模与右R-模是一样的，简称为R-模。

若R 是一个域则R-模就是R-向量空间。模是向量空间的推广，有很多与向量间相同的性质，但通常没基底。

• 所有 交换群 M是一个在整数环Z的模，其标量乘法是nx = x + x + ... + x（n个相加）对于n > 0, 0x = 0，以及(-n)x = -(nx)对于n < 0。
• 若R是一个环而n是一个自然数，则 Rⁿ 是一个R-模。
• 若M是一个光滑流形，则由M至实数的光滑函数是一个环R。在M上的所有向量场组成一个R-模。
• 所有 n×n 实数矩阵 组成一个环R。 欧几里得空间Rⁿ 是一个左R-模，当中标量乘法就是矩阵的标量乘法。
• 若R是一个环而I是其中一个 左理想 ，则I是一个左R-模。

假设M是左R-模兼N是M的子集。如果对于所有n ∈ N及r ∈ R，乘积rn ∈ N（若是右模，nr），则N是_RM的子模（或更准确地，R-子集）。

若M和N是左R-模，若映射 f : M -> N有对所有m, n ∈ M及r, s ∈ R，f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)，则称映射 f为R-模同态。像其他同态，模同态保存了模的结构。

若M是左R-模，则一个R中元素r之作用定义为映射M → M，它将每个x映至rx（或者在右模的情况是xr），这必然是阿贝尔群（M,+）的群自同态。全域M的自同态记作End_Z(M)，它在加法与合成下构成一环，而将R的元素r映至其作用则给出从R至End_Z(M)之同态。

如此的环同态R → End_Z(M)称作R在阿贝尔群M上的一个表示。左R-模的另一种等价定义是：一个阿贝尔群M配上一个R的表示。

一个表示称作忠实的，当且仅当R → End_Z(M)是单射。以模论术语来说，这意谓若r是R的元素，且使得对所有M中的x都有rx=0，则r=0。任意阿贝尔群皆可表成整数环Z或其某一商环Z/nZ的忠实表示。