抽象代数

如同其他的数学领域一般，具体的问题与例子带动了抽象代数的发展。19世纪末期，许多（也许是最多）数学问题都在某些程度上与代数方程理论有关。主要有：

• 解线性方程组的解，引领了线性代数的发展。
• 试图找出高次一般多项式方程的公式解，因而发现了群可以作为对称的抽象表示。
• 二次以上的丢番图方程之算术研究，直接影响了环与理想等概念的形成。

许多抽象代数的教科书会从各类代数结构的公理化定义开始，然后逐步建立其性质。这会造成一个错误的印象，让人以为先有代数公理，然后才以这些公理作为基础，推动更进一步的研究，但历史发展的顺序几乎正好相反。例如，19世纪时，超复数的诞生是因为在运动学与物理学上的需求，但当时要理解这个概念却很困难。大多数被认为是代数一部分的理论一开始都是在不同数学分支里的不同事实（fact），因为需要一个共同的架构作为这些结论的依据基础，才渐渐地被统合在一套共同概念之上。此一逐渐统合的典型案例可见群论的历史。

早期的群论

群论早期的发展有多个进程，以现代的语言可大致对应到“数论”、“方程理论”与“几何学”。

李昂哈德·欧拉在他对费马小定理的推广中，想出数字模一整数的代数运算，即模运算。这些研究被卡尔·弗里德里希·高斯更进一步的推进，他考量了可交换群模 n 的剩余之结构，并建立起许多循环群与更一般的阿贝尔群之性质。在高斯对二元二次型复合的研究中，他明确指出了复合的结合律，但如同欧拉一般，比起一般性的理论，他似乎对具体的结论更感兴趣。1870年，利奥波德·克罗内克给出阿贝尔群在数域之理想类群的定义，扩展了高斯的成果。但他似乎没有将他的定义与之前跟群有关之成果结合在一起，尤其是在置换群的部分。1882年，考虑着相同的问题，安里西·韦伯理解到其中的关连性，并给出类似的定义，不过虽然包含消去律，但却忽略了逆元的存在。

约瑟夫·拉格朗日曾研究过排列。他在1770年的论文《思考方程的代数解》（Reflexions sur la resolution algebrique des equations）之中引入拉格朗日预解式，用来求多项式方程的解。拉格朗日的目的在于了解如何三次及四次的方程允许公式解，且他将根的排列视为关键对象。拉格朗日在其论文中的重要一步为对根的抽象观点，即将根视为符号，而非数字。然而，他没有考虑到排列的复合。意外的是，爱德华·华林的《代数思想》（Meditationes Algebraicae）于同一年被翻译成意大利文。华林证明出对称函数的主要定理，并特别地考虑到四次方程的根与其立方预解式之间的关系。亚历山大·范德蒙于1771年所著的《方程式求解备忘录》（Memoire sur la resolution des equations）中以稍微不同的角度发展对称函数的理论，但如同拉格朗日一般，其目的都是为了了解多项式方程的可解性。

克罗内克于1888年表示，现代代数的研究始于范德蒙的第一篇论文。柯西明确地表示，范德蒙有着优于拉格朗日的非凡想法，这最终导致了群论的研究^[1]。

保罗·鲁菲尼是第一个发展置换群理论的数学家，如同他的前辈一般，也是为了多项式方程的求解。他的目标是确定一个大于4次的一元多项式方程不可能拥有代数解。在达成此一目标的途中，他引入了群内元素的阶、共轭、置换群里的轮换分解等概念，以及其他基本与非基本的概念，并证明与这些概念有关的一些重要定理，如

若 G 是 S₅（其阶可被 5 整除）的子群，则 G 包括一个 5 阶的元素。

但须注意，鲁菲尼并没有形式化群的概念，甚至也没有形式化置换群的概念。下一阶段的工作由埃瓦里斯特·伽罗瓦于1832年写出，但直到1846年才被公布。当时他第一次考量到的是现在被称为置换群的“封闭性”这个概念，他的叙述为

……若在一个拥有排列 S 与 T 的群里，则该群也会拥有排列 ST。

置换群的理论到了奥古斯丁·路易·柯西与卡米尔·若尔当手上，得到了进一步的长远发展，两个人都引入了新的概念，并得到大量有关特别类型之置换群的结论，甚至有得到一些一般性的定理。其中，若尔当定义出同构的概念，虽然能在置换群的背景下。此外，也是他让“群”这个词得到了广泛的运用。

群的抽象概念直到1854年才在阿瑟·凯莱的论文中首次出现。凯莱理解到群不必然要是置换群（甚至不需要是“有限”的），且可改由矩阵组成。矩阵的代数性质，如乘法及逆元，凯莱在接下来的几年间有系统地作出了一些研究。很久之后，凯来重新审视抽象群是否更一般于置换群这个问题，并确立，实际上，任一群均会同构于一个置换群。

近世代数

19世纪末20世纪初，在数学方法上有了巨大的转变。抽象代数于20世纪初开始出现，被称为“近世代数”。对抽象代数的研究受到数学上对严谨的更多要求所趋动。一开始，整个数学（及大部分的自然科学）所依靠的古典代数之假设，改采公理系统之形式。不再满足于研究具体对象之性质，数学家开始将其注意力转至一般理论。某些代数结构的形式定义开始于19世纪出现。例如，各类置换群的结论可被视为“抽象群”的一般概念有关之一般性定理的特例。对不同数学对象之结构与分类等问题，开始成为了研究焦点。

这些过程发生在所有的数学领域内，但在代数里尤其显著。以基本运算及公理写成的形式定义开始加诸于许多基本代数结构之上，如群、环与域等。因此，群论与环论开始在纯数学里占有一席之地。在代数的研究上，恩斯特·斯坦尼兹研究过一般的域、大卫·希尔伯特、埃米尔·阿廷与埃米·诺特研究过可交换群与一般的环，恩斯特·库默尔、利奥波德·克罗内克与理察·戴德金研究过可交换环的理想，以及费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯与伊赛·舒尔研究过群的表示理论。上述研究定义出了抽象代数的范范。这些在19世纪末20世纪初的发展于巴特尔·范·德·瓦尔登所著，于1930年至1931年出版的两卷专著《现代代数》（Moderne algebra）中有系统中呈现出，在数学世界里，“代数”这个词的意义是如何由“方程理论”换变成“代数结构理论”的。

介由抽象化不同程度的细节，数学家已创造出适用于不同对象的各种代数结构之理论。例如，几乎所有被研究的系统都是一种集合，适用集合论的定理。定义于这些集合上的某些二元运算会形成原群，使得原群的概念也适用之。在代数结构上可再附加上更多额外的限制，如结合律（以形成半群）；单位元与逆元素（以形成群）；以及其他更复杂的结构等。具有越多额外的结构能够证明出越多定理来，但却会减少一般性。代数对象（依据一般性）的“阶层”能形成相对应之理论的阶层：例如，群论里的定理亦可适用于环（具有满足特定公理之两个二元运算的代数对象），因为环也是群的一种。数学家会在一般性的程度与理论的丰富性间寻求出一个平衡。

具有一个二元运算的代数结构之例子如下：

• 原群
• 拟群
• 幺半群
• 半群
• 群

更复杂的例子如下：

• 环
• 域
• 模
• 向量空间
• 域代数
• 结合代数
• 李代数
• 格
• 布尔代数

因为其一般性，抽象代数运用于许多数学与科学领域之中。例如，代数拓扑即使用代数对象来研究拓扑学。最近（2006年）被证明出之庞加莱猜想表示，一个流形的基本群（握有连通性的资讯）可用来确认一个流形是否为一球面。代数数论研究各种广义化整数集合之数环。使用代数数论里的工具，安德鲁·怀尔斯证明出费马最后定理。

在物理学里，群用来表示对称运算，且使用群论可以算化许多微分方程。在规范理论里，要求局部对称可用来减少描述系统所须之方程。描述这些对称的群称为李群，而对李群与李代数之研究亦揭示出许多物理系统内的知识；例如，在一理论中载力粒子（force carriers）的数量会等于李代数的维度，且当李代数是不可交换时，玻色子才是与其传递的力作用^[2]。

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• 编码理论
• 数学著作列表#抽象代数

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