环论

抽象代数中，环论（Ring Theory）是针对一种称为环的代数结构之研究，环类似可交换群，有定义运算“+”，此外又定义另一种运算“·”（此处的“+”和“·”不一定是一般的加法及乘法，但和在整数中定义的加法及乘法有类似性质）。环论研究环的结构、环的代数表现方式（英语：representation of an algebra）（或称为modules（英语：module (ring theory)））、特殊的环（例如群环、除环、泛包络代数等），也包括一些和环论有关的定理以及其应用，例如同调代数、及PI环（英语：PI ring）。

交换环是指其中运算“·”符合交换律的环，本身比较容易理解。代数几何及代数数论中有许多交换环的例子，也带动了交换环理论的发展，这部分后来称为交换代数，是现代数学中的主要领域之一。代数几何、代数数论及交换代数在本质上连结的非常紧密，因此有时很难去区分某特定数学原理属于哪个领域。例如希尔伯特零点定理是代数几何的基本定理，但是陈述及证明时都是以交换代数的方式进行。而费马大定理问题的形式是以基本的算术方式（属于交换代数的一部分）呈现，但其证明用到很深的代数几何及代数数论。

非交换环（英语：Noncommutative ring）是指其中运算“·”不符合交换律的环，会有一些和交换环不同的的特殊特性。非交换环此一数学概念本身也在进展，而近来的也有一些研究将特定的非交换环以几何的方式表示，例如在（不存在的）非交换空间下的函数环。这种趋势自1980年代开始发展，也和量子群的出现同时。目前对非交换环已有多一些的认识，尤其是非交换的诺特环^[1]。

在“环 (代数)”条目中，有环的定义以及其基本的概念及性质。