环 (代数)

${\displaystyle R}$  为集合， ${\displaystyle +:R\times R\to R}$  和 ${\displaystyle \circ :R\times R\to R}$  为定义于其上的二元运算（一种二变量函数）。以下依照二元运算的惯例，将运算结果 ${\displaystyle +(a,\,b)}$  和 ${\displaystyle \circ (a,\,b)}$  分别简记为 ${\displaystyle a+b}$  和 ${\displaystyle a\circ b}$  。

${\displaystyle (R\,,+\,,\,\circ \,)}$  被称为环，若它满足：

1. ${\displaystyle (R\,,+)}$ 为交换群 ，即：
   • 结合律：对所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$  有 ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ 
   • 单位元：存在 ${\displaystyle i\in R}$  ，对所有的 ${\displaystyle r\in R}$  有 ${\displaystyle i+r=r+i=r}$  （可由上面的性质证明这样的 ${\displaystyle i}$  是唯一的， 这样的 ${\displaystyle i}$  称为加法单位元）
   • 逆元：对所有的 ${\displaystyle r\in R}$  存在 ${\displaystyle r^{\prime }\in R}$  使 ${\displaystyle r+r^{\prime }=r^{\prime }+r=0}$  （可以由上面的性质证明这样的 ${\displaystyle r^{\prime }}$  是唯一的，通常简记为 ${\displaystyle r^{-1}}$  并称为 ${\displaystyle r}$  的加法逆元)
   • 交换律：对所有的 ${\displaystyle a,\,b\in R}$  有 ${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$ 
2. ${\displaystyle (R\,,\,\circ )}$ 为幺半群，即：
   • 结合律：对所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$  有 ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$ 
   • 单位元：存在一个单位元${\displaystyle e\in R}$ 使得对于任意的${\displaystyle a\in R}$ 有${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$ （部分定义并不要求此条）
3. 乘法对于加法满足分配律，即对所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$  有：
   • ${\displaystyle a\circ (b+c)=(a\circ b)+(a\circ c)}$ 
   • ${\displaystyle (a+b)\circ c=(a\circ c)+(b\circ c)}$ 

其中 ${\displaystyle +}$  常会被昵称为加法；类似的 ${\displaystyle \circ }$  会被昵称为乘法，因为取 ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$  （实数系）， ${\displaystyle +}$  为普通的实数加法且 ${\displaystyle \circ }$  为普通的实数乘法的话，${\displaystyle (R\,,+\,,\,\circ \,)}$ 显然为环。而此时加法单位元显然为实数 ${\displaystyle 0}$  ，所以有时会偷懒的将一般环的加法单位元 ${\displaystyle i}$  简写为 ${\displaystyle 0}$  。

所以惯例上仿造实数乘法把 ${\displaystyle a\circ b}$  简写为 ${\displaystyle ab}$  ；而且因为实数乘法优先于实数加法，所以也会规定 ${\displaystyle a+bc}$  是 ${\displaystyle a+(b\circ c)}$  的简写。此外还会仿造实数减法，会把 ${\displaystyle a+b^{-1}}$  简写为 ${\displaystyle a-b}$  。

值得注意的是，在1960年代以前，多数抽象代数的书籍并不将乘法单位元列入环的必要条件中；而1960年代后的书籍则更倾向将乘法单位元列入环的必要条件中。那些不要求乘法单位元为环的必要条件的作者，可能会把包含乘法单位元的环给称为“单位环”；与之相对地，那些要求乘法单位元为环的必要条件的作者，可能会把不包含乘法单位元的环给称为“伪环”。

${\displaystyle (R\,,+\,,\,\circ \,)}$  为环，则对所有 ${\displaystyle a,\,b\in R}$  有：

I. ${\displaystyle a0=0a=0}$ 

证明：

1. ${\displaystyle 0=0+0}$  （单位元）
2. ${\displaystyle a0=a(0+0)}$  （式1等号两边于左侧同乘 ${\displaystyle a}$ ）
3. ${\displaystyle a(0+0)=a0+a0}$  （分配律）
4. ${\displaystyle a0+a0=a0}$ （式2 + 式3）
5. ${\displaystyle a0+a0+{(a0)}^{-1}=a0+{(a0)}^{-1}}$  （式4等号两边于右侧加 ${\displaystyle {(a0)}^{-1}}$ ）
6. ${\displaystyle a0=0}$  （以逆元化简式5）

可调换 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle 0}$  的顺序， 仿上证明 ${\displaystyle 0a=0}$  。 ${\displaystyle \Box }$ 

II. ${\displaystyle a^{-1}b=ab^{-1}=(ab)^{-1}}$ 

证明：

1. ${\displaystyle a^{-1}b+ab=ab+a^{-1}b=(a+a^{-1})b=0b}$  （加法交换律、分配律、加法逆元素）
2. ${\displaystyle 0b=0=a^{-1}b+ab}$  （ 上面的性质I ）

故 ${\displaystyle a^{-1}b}$  的确是 ${\displaystyle ab}$  的加法逆元，仿上可证明 ${\displaystyle ab^{-1}}$  也是 ${\displaystyle ab}$  的加法逆元。 ${\displaystyle \Box }$ 

特殊的环

幺环

若环R中，(R, ·)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环

若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。

无零因子环

若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。

• 此定义等价于以下任何一条：
  • R\{0}对乘法形成半群；
  • R\{0}对乘法封闭；
  • R中非0元素的乘积非0；

整环

无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环

若整环R中每个非零非可逆元都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环

若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R\{0}，∃a^-1∈R\{0}，使得a^-1·a=a·a^-1=1。则R称为除环。

• 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
• 交换的除环是体。

主理想环

每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环

若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

质环

• 集环：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
  • R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
  • R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
  • R对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

• 整数环是一个典型的交换且含单位环。
• 有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
• 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
• n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

考虑环(R, +, ·)，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。集合I ⊆ R，考虑以下条件：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
2. ∀i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。
3. ∀i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。

若I满足条件1，2则称I是R的右理想； 若I满足条件1，3则称I是R的左理想； 若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。

示例

• 整数环的理想：整数环Z只有形如{nZ}的理想。

基本性质

• 在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。
• 在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。
• 对于环R的两个理想A，B，记${\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}}$ 。则由定义易知：
  1. 若A是R的左理想，则AB是R的左理想；
  2. 若B是R的右理想，则AB是R的右理想；
  3. 若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

相关概念

真（左，右，双边）理想

若R的（左，右，双边）理想I满足：I是R的真子集，I称为R的真（左，右，双边）理想。

极大（左，右，双边）理想

环R及其真（左，右，双边）理想I，I被称为R的极大（左，右，双边）理想，若不存在R的真（左，右，双边）理想J,使得I是J的真子集。

• 若 I 是极大（左，右）理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
• 极大双边理想不一定是极大（左，右）理想。

生成理想

环R，A ⊆ R，定义<A>=RA+AR+RAR+ZA，则易知：

• <A>是环R的理想，并且<A>是R中所有包含子集A的理想的交,即<A>是R中包含子集A的最小理想。

称<A>为由子集A生成的理想，A称为<A>的生成元集。当A是有限集时，<A>称为R的有限生成理想。

• 下面是生成理想的几种特殊情况：
  1. 当R是交换环时，<A>=RA+ZA
  2. 当R是幺环时，<A>=RAR
  3. 当R是交换幺环时，<A>=RA
• 同一个理想，其生成元集可能不唯一。

主理想

由环R中单个元素生成的理想称为R的主理想。即，设a ∈ R，则<{a}>称为R的主理想。

素理想

真理想I被称为R的素理想，若∀理想A，B ⊆ R，AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。

素环

若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：${\displaystyle R/I}$ 是素环.

半素理想

环R的真理想I，若∀理想A，A² ⊆ I ⇒ A ⊆ I。则称 I 是环R的半素理想。

• 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

• 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
• 定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
• 定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环${\displaystyle R/I}$ 是域。
• 定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有${\displaystyle I+J=R}$ 。

• 零因子 （zero divisor）：
  主条目：零因子

设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。通称零因子；