乘法

乘法可以用几种方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

• ${\displaystyle 5\times 2}$ 
• ${\displaystyle 5\cdot 2}$ 
• ${\displaystyle 5*2}$ 
• ${\displaystyle (5)(2)}$ 

古代常用的方法是将两个数并排，没有什么特别的符号来表示乘法。

以“${\displaystyle \times }$ ”表示乘法是威廉·奥特雷德最先使用，分别于一篇现时相信是于1618年他写的附录，和约于1628年写作的、1631年出版的书《数学之钥》（Clavis Mathematicae）内出现。以“${\displaystyle \times }$ ”表示乘法是现在最流行的写法。在电脑文书中，也有为方便键盘输入而以小写英文字母“x”替代“×”。

以“${\displaystyle \cdot }$ ”表示乘法现在用于德国和法国等国家，最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用，但对这个用法较有影响力的人是莱布尼兹。

因为星号“${\displaystyle *}$ ”是键盘必备的符号，电脑常用星号表示乘号，第一次在计算机使用这个用法的是FORTRAN（福传）编程语言，事实上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一书中首次使用；但笔算时很少使用星号。

代数中，乘号经常省略掉，形式如${\displaystyle 5x}$ 和${\displaystyle xy}$ 。若变量多于一个字母，容易使人混淆。这种表示法不会用于只有数字时，即${\displaystyle 5\times 2}$ 不会表示成${\displaystyle 52}$ 。

乘积可以用大写希腊字母Π（Pi，${\displaystyle \Pi }$ ）来表示：

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}}$ 

两个整数的积是：

${\displaystyle mn=\sum _{k=1}^{n}m}$ 

这是“将m加到自己n次”的简化说法。更清晰来说：

${\displaystyle mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}}$ 

使用上面的定义，我们很易找到一些乘法的性质：

• 交换律：${\displaystyle xy=yx}$ 
• 结合律：${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$ 
• 分配律：${\displaystyle x(y+z)=xy+xz}$ 

将任何数乘以一都会等于该数本身，即${\displaystyle 1x=x}$ ，称为单位律。

将任何数乘以零，即是什么也没做过，结果就是零，即${\displaystyle 0x=0}$ 。

当${\displaystyle x}$ 是量，${\displaystyle y}$ 是自然数，乘法的递归定义：

${\displaystyle 0x=0}$ 

${\displaystyle xy=x+x(y-1)}$ 

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见公元400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

• 电脑有特别的算法来处理大数之间的相乘，见乘法算法。
• 华人小学生通常要背诵九九乘法表来学习乘法。
• 史丰收速算法提出了用“本个 +后进”的方式来计算乘法。
• 尺规作图作乘法的方法：给定长为${\displaystyle 1}$ 的线，以及两条线${\displaystyle AB}$ 和${\displaystyle AC}$ ，求长度为该两条的线长度的积的线。解法：设该两条线分别为${\displaystyle AB}$ 和${\displaystyle AC}$ ，${\displaystyle AB}$ 垂直${\displaystyle AC}$ 于${\displaystyle A}$ 。在${\displaystyle AB}$ 上画出点${\displaystyle D}$ 使${\displaystyle DA=1}$ ，连${\displaystyle D}$ 、${\displaystyle C}$ 为${\displaystyle DC}$ 。画一条通过${\displaystyle B}$ 、平行${\displaystyle DC}$ 的线，延长${\displaystyle AC}$ ，此两条线的交于${\displaystyle E}$ ，${\displaystyle EA}$ 即为所求之线。