整数

整数是一个集合，通常可以分为正整数、零（0）和负整数。正整数（符号：Z⁺或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ）即大于0的整数，是正数与整数的交集。而负整数（符号：${\displaystyle Z^{-}}$ 或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ ）即小于0的整数，是负数与整数的交集。和整数一样，两者都是可数的无限集合。除正整数和负整数外，通常将0与正整数统称为非负整数（符号：Z⁺₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$ ），而将0与负整数统称为非正整数（符号：Z^-₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ）。在数论中自然数${\displaystyle \mathbb {N} }$ 通常被视为与正整数等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

下表给出任何整数${\displaystyle a,b,c}$ 的加法和乘法的基本性质。

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ 同构。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

${\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }$ 

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若${\displaystyle a<b}$ 且${\displaystyle c<d}$ ，则${\displaystyle a+c<b+d}$ （加法）
• 若${\displaystyle a<b}$ 且${\displaystyle c>0}$ ，则${\displaystyle a\times c<b\times c}$ ；若${\displaystyle c<0}$ ，则${\displaystyle a\times c>b\times c}$ （乘法）

整数环是一个欧几里德域。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的基数（或势）是ℵ₀，与${\displaystyle \mathbb {N} }$ 相同。这可以从${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 建立一双射函数到${\displaystyle \mathbb {N} }$ 来证明，亦即该函数要同时满足单射及满射的条件，例如：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}$ 

当该函数的定义域仅限于${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，则证明${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 与${\displaystyle \mathbb {N} }$ 可建立一一对应的关系，即两集等势。

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