考虑数 ,其中 是实数,而量 不是实数,但 是实数。
选取 ,得到一般复数。取 的话,便得到双曲复数。
定义双曲复数的加法和乘法如下,使之符合交换律、结合律和分配律:
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-
共轭、范数
对于 ,其共轭值 。对于任何双曲复数 ,
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-
可见它是自同构的。
定义内积为 。若 ,说 (双曲)正交。
双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积,即自身和其共轭值之乘积(闵可夫斯基范数):
- 。
这个范数非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变: 。
除法
除了0之外,也不是每个双曲复数都有乘法逆元。
由此可见,双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。其形式均为 ,其中 是实数。
基
双曲复数的幂等元有:
列方程 。有四个解: 。
s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。 。
若将 表示成 ,双曲复数的乘法可表示成 。因此,在这个基里,双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。
共轭可表示为 ,范数 。
有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间,表示为R1,1。正如欧几里得平面R2的几何学可以复数表示,闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。
在R,对于非零的 ,点集 是双曲线。左边和右边的会经过 和 。 称为单位双曲线。
共轭双曲线是 ,会分别经过 和 。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 分开。
欧拉公式的相应版本是 。