八元数

八元数第一次被描述于1843年，于一封约翰·格雷夫斯（英语：John T. Graves）给威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。^[1]:168后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。^[2]格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些^[3]。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的，^[2]因此八元数又被称为凯莱数或凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。^[4]

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例，八元数可以表达为2个四元数P与Q的组合，即 P+Q l 或${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$ ，其中，量l为其中一个八元数单位并满足：^[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}$ 

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成^[6]

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$ 

其中系数x_a是实数。 这些八元数单位亦满足：^[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}$ 

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。^[6]

一些不同的定义方式会将八元数的单位元素表达为e_a的线性组合，其中 a=0, 1,..., 7 ：^[7]

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$ 

当中的${\displaystyle e_{0}}$ 为实数单位。每个八元数单位元素皆不相等，而其平方为实数。也就是说，每个八元数 x 都可以写成以下形式^[8]：

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}$ ^[9]:5

其中x_i为单位元素e_i的系数，且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的，与四元数的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出^[7]，其乘法表的结构与{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$ ）类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述：^[10]

除了主对角线上以及${\displaystyle e_{0}}$ 作为操作数的行和列的元素之外，乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的，这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。

该表可总结如下：^[12]

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ 

其中δ_ij为克罗内克δ函数（当且仅当i = j时为1）、 ε_ijk为完全反对称张量（英语：completely antisymmetric tensor），且当ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，值为1。^[9]

然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是${\displaystyle e_{0}=1}$ 八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$ 的符号来获得。^[13]这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的，很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。

这480个八元数乘法定义中，每一定义的正负号在7循环（1234567）下的特定点上都是不变的，并且对于每个7循环有四个定义，它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 e₁e₂ = e₄的7循环（1234567）下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面，该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表e_n和${\displaystyle ijkl}$ 格式的矩阵。^[14]

此外，亦有一些文献会将八元数的单位定义为${\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}$ 。^[15]

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数${\displaystyle (a,b)}$ 和${\displaystyle (c,d)}$ 的乘积定义为：^[8]:153

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$ 

其中${\displaystyle z^{*}}$ 表示四元数${\displaystyle z}$ 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。^[16]

法诺平面记忆

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也视为一条直线），称为法诺平面（英语：Fano plane）。^[17]这些直线是有向的。七个点对应于Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$ )的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。^[18]

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：^[18]

ab = c，ba = −c

以及它们的循环置换（英语：Cyclic permutation）。这些规则^[18]

• 1是乘法单位元，
• 对于图中的每一个点，都有${\displaystyle e^{2}=-1}$ 

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的一个子代数，与四元数${\displaystyle \mathbb {H} }$ 同构。^[8]:151-152

共轭、范数和逆元素

八元数

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$ 

的共轭为：

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$ 

当中除了实数项外，其余项正负号皆相反。因此若将八元数单位表达为{e₁, e₂ ... e₇}，则八元数的共轭可以简化表示为：^[9]:6

${\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}$ 

共轭是${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的一个对合，满足${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ （注意次序的变化）。^[16]

x的实数部分定义为${\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}$ ，虚数部分定义为${\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}$ 。^[16]所有纯虚的八元数生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的一个七维子空间，记为Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$ )。^[8]:186

八元数x的范数可用与自身共轭的积${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}$ 来定义^[16]：

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$ 

在这里，平方根是定义良好的，因为${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$ 总是非负实数：^{[注 1]}

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}$ 

这个范数与${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ 上的标准欧几里得范数是一致的。

${\displaystyle \mathbb {O} }$ 上范数的存在，意味着${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为：^[16][9]:6

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$ 

它满足${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}$ 。

八元数的乘法既不是交换的：^[9]:6

${\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}$ 

也不是结合的：^[5]:41

${\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}$ 

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性^[9]:2。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数（英语：Subalgebra）是结合的。^[9]:3实际上，我们可以证明，由${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的任何两个元素所生成的子代数都与${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、${\displaystyle \mathbb {C} }$ 或${\displaystyle \mathbb {H} }$ 同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。^[9]

八元数确实保留了${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、${\displaystyle \mathbb {C} }$ 和${\displaystyle \mathbb {H} }$ 共同拥有的一个重要的性质：${\displaystyle \mathbb {O} }$ 上的范数满足

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}$ 

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因为它们都存在零因子。^[19]

这样，实数域上唯一的赋范可除代数是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、${\displaystyle \mathbb {C} }$ 、${\displaystyle \mathbb {H} }$ 和${\displaystyle \mathbb {O} }$ 。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数（英语：Division algebra）。^[8]:155

由于八元数不是结合的，因此${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

自同构

八元数的自同构A，是${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的可逆线性变换，满足：

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}$ 

${\displaystyle \mathbb {O} }$ 的所有自同构的集合组成了一个群，称为G₂（英语：G2 (mathematics)）。^[21][9]群G₂是一个单连通、紧致、14维的实李群。^[22]这个群是例外李群（英语：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一个。^[23]

• 双曲复数
• 四元数
• 十六元数
• Spin(8)（英语：Spin(8)）
• PSL(2,7)──法诺平面的自同构群。

1. ^ 在范数可良好定义的前提下，${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }$ ，且${\displaystyle x^{*}x>0}$ ^[16]，因此可以得到${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$ 总是非负实数的结论。

• Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始内容存档于2008-12-09） . Online HTML version at math.ucr.edu. （原始内容存档于2008-10-09）. 
• Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始内容存档于2016-09-10）. ）