超现实数

康威^[3]使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 ${\displaystyle \{L|R\}}$ 。这两个集合要求 ${\displaystyle L}$  里的每个元素都严格小于每个 ${\displaystyle R}$  里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：${\displaystyle \{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2}$ 。

整数及二进分数

让我们先来看几个简单的例子。

${\displaystyle \{|\}=0}$ 

${\displaystyle \{0|\}=1}$ 

${\displaystyle \{1|\}=2}$ 

${\displaystyle \{|0\}=-1}$ 

${\displaystyle \{|-1\}=-2}$ 

因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）

${\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}}$ 

${\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}}$ 

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}}$ 

至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。

其他实数

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$ ，${\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}}$ ，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

无穷数

根据归纳法，我们可以构造出 ${\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}}$ ，${\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}}$  等无穷大的数，${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}}$  等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

更多的数

我们定义 ${\displaystyle P_{0}={0}}$ 。

若 ${\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}}$  且 ${\displaystyle x\not \in P_{i}}$ ，那么 ${\displaystyle x\in P_{i+1}}$ ，这在直观上等阶于“${\displaystyle x}$ 是在第${\displaystyle i}$ 天中出生的”。

那么我们可以观察发现：

• ${\displaystyle 1,-1\in P_{1}}$ 
• ${\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}$ 
• ${\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}$ 
• ${\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}$ 
• ${\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }}$ ，其中${\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}$ 
• ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}$ 

我们将超现实数集合称作 ${\displaystyle \mathbb {No} }$ 。

给定 ${\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}}$ ，我们（递归地）定义 ${\displaystyle x\leq y}$  当且仅当以下两命题同时成立：

• 没有一个 ${\displaystyle x_{L}\in X_{L}}$  符合 ${\displaystyle y\leq x_{L}}$ ，
• 没有一个 ${\displaystyle y_{R}\in Y_{R}}$  符合 ${\displaystyle y_{R}\leq x}$ 。

那么可以自然地定义 ${\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y}$ 。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。

我们分别将 ${\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0}$  称为 ${\displaystyle x}$  负、 ${\displaystyle x}$  正、 ${\displaystyle x}$  非正、 ${\displaystyle x}$  非负。

我们定义 ${\displaystyle x\|y}$  表示 ${\displaystyle x\leq y}$  与 ${\displaystyle y\leq x}$  同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

加法

我们定义超现实数之间的加法为 ${\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}}$ ，其中 ${\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}}$ 。

加法逆元

我们定义负号（加法逆元）为 ${\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}}$ ，其中 ${\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}}$ 。

可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。

乘法

我们定义乘法运算为${\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}$ ，其中 ${\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}}$ 。

乘法逆元

我们定义（正数的）乘法逆元为${\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}$ ，这样除法就是 ${\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ 。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取${\textstyle y=3=\{2|\}}$  那么 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$  会有一个 ${\textstyle 0}$  作为左项，导致了${\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}$  会是一个右项。这又意味着 ${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$  作为左项、${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$  作为右项，以此类推，所以我们有${\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$  （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ，因此是相容的）。

对于负数，我们定义 ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)}$ 。

有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。

有理数

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

实数

在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x=A|A'}$ ，其中 ${\displaystyle A,A'\subset \mathbb {Q} }$ ，那么立刻可知存在 ${\displaystyle X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}}$  是 ${\displaystyle x}$  的一个超现实数表示，其中 ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} }$  是有理数到超现实数的域同态。

序数

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合^[4]。所有序数的全体记为${\displaystyle \mathbb {Ord} }$ ，那么我们有：

• ${\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}$ 

这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 ${\displaystyle \omega -1}$  这一式子的值在序数中的结果是 ${\displaystyle \omega }$ ，而在超现实数中则是 ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}}$ .

如果去除超现实数定义中对所有 ${\displaystyle L<R}$  的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做游戏^[5]。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。

显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如 ${\displaystyle \star =\{0|0\}}$  就不是，其满足 ${\displaystyle \star \|0}$ 。

可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称左玩家）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称右玩家）的选择，不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。

我们可以发现，这个游戏的胜负取决于 ${\displaystyle G}$  和 ${\displaystyle 0}$  的相对关系。

• 若 ${\displaystyle G=0}$ ，则后手必胜。
• 若 ${\displaystyle G>0}$ ，则左玩家必胜。
• 若 ${\displaystyle G<0}$ ，则右玩家必胜。
• 若 ${\displaystyle G\|0}$ ，则先手必胜（英语：fuzzy game）。

有以下这些特殊的游戏^[6]：

• ${\displaystyle \star =\{0|0\}}$ 
• ${\displaystyle \uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}}$ 
• ${\displaystyle \pm 1=\{1|-1\}}$ 

可以发现，关于他们有这么几个性质：

• ${\displaystyle \star \|0}$ 
• ${\displaystyle \forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i}$ 
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x}$  （比所有超现实数更接近0）
• ${\displaystyle \star +\star =\uparrow +\downarrow =0}$ 
• ${\displaystyle (\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0}$ 

可以用于分析复杂的游戏。

• 超现实数（Surreal）
• 无穷量（Infinitesimal）
• 格罗滕迪克宇集