圆周率

名称

数学家用小写希腊字母${\displaystyle \pi }$ 表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为“Pi”，来自希腊语“περίμετρος”（周长）的首字母。^[12]英语π的发音与英文单词“Pie”（/paɪ/，西式馅饼）相同。^[13]π的小写字母（或其无衬线体）在数学要和表示连乘积的大写Π相区分开。

关于选择符号π的原因，请参见引入π符号一节。

定义

π常用定义为圆的周长${\displaystyle C}$ 与直径${\displaystyle d}$ 的比值：^[2]:8

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$ 。

无论圆的大小如何，比值${\displaystyle {\frac {C}{d}}}$ 为恒值。如果圆的直径变为原先的二倍，周长也变为二倍，比值${\displaystyle {\frac {C}{d}}}$ 不变。π目前的定义暗地用了欧几里得几何的一些定理，虽然圆的定义可扩展到任意曲面（即非欧几里得几何），但这些圆不符合定律${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$ 。^[2]

这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这概念可以不依赖几何学，而是用微积分学的极限来定义。^[14]例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ 上半部分的弧长，需要用到积分：^[15]

${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$ 

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对π的积分定义。^[16]

π这些依赖周长、且暗地依赖积分的定义如今在文献中并不常见。雷默特（Remmert (1991)）解释说现代教微积分时，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的π的定义就很有必要了。其中一种定义由理查·巴尔策（英语：Richard Baltzer）提出，^[17]由爱德蒙·兰道推广，^[18]其表述如下：π是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。^[2][15][19]余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数^[20]定义，或者使用微分方程的解来定义。^[19]

在相似的启发下，π可以用关于复变量${\displaystyle z}$ 的复指数函数${\displaystyle \exp(z)}$ 来定义。复指数类似余弦函数，可用多种方式定义。令函数${\displaystyle \exp(z)}$ 值为一的复数集合是如下所示的（虚）等差数列：

${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki|k\in \mathbb {Z} \}}$ ，

并且其中包括独特的正实数${\displaystyle \pi }$ 。^[15][21]

基于同样想法但更抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：^[22]存在唯一的从加法模数整数组成的实数群R/Z到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字π定义为此同态派生的模的一半。^[23]

周长固定，圆会围成最大面积，π同样表述为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，π作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。

无理及正规性

π是无理数，无法表示成两整数之比的形式（形如${\textstyle {\frac {22}{7}}}$ 的分数常用来近似表达π，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到π的精确值）。^[2]:5由于${\displaystyle \pi }$ 是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数，这些证明也都要用到微积分学和反证法。${\displaystyle \pi }$ 可以用有理数来近似的程度还无法准确得知（称为无理性度量），不过估计其无理性度量比e或ln(2)的要大，但是小于刘维尔数的无理性度量^[24]。

统计随机性（英语：statistical randomness）检验，包括正规数检验，可验证${\displaystyle \pi }$ 的位数没有明显的固定模式。${\displaystyle \pi }$ 的小数中任意固定长度的序列（如3位数000，001……999）出现概率都相同^[25]。不过有关π是正规数的猜想既无证明，亦无证伪^{[2]:22-23[25]}。

电脑出现后可生成大量π的不同位数，并统计分析之。金田康正详细统计分析了π的十进制数字，并验证了其分布正规：例如，假设检验0到9十个数的出现频率，找不到有特定重复规律的证据^{[2]:22, 28–30}。根据无限猴子定理，任何任意长度、由随机内容组成的子序列看起来都有可能像不随机生成。因此，就算π的小数序列通过了随机性统计测试，其中也可能有几位的数字看起来似有规律可循而非随机数，例如π的十进制写法在小数第762位后开始出现了连续六个9^[2]:3。

超越性

${\displaystyle \pi }$ 不仅是无理数，还是超越数，即${\displaystyle \pi }$ 不是任何有理系数多项式的根。（比方说，试图解有限项方程${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$ 来求${\displaystyle \pi }$ 的值）^{[26][注 1]}

${\displaystyle \pi }$ 的超越性衍生出一些重要的结果：${\displaystyle \pi }$ 不能经有限次四则运算和开平方运算有理数来获得，因此不是规矩数。换言之，尺规作图作不出长度为${\displaystyle \pi }$ 的线段，也就不可能用尺规方法做出与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圆为方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人数千年之久^[27][28]。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这问题^[29]。

连分式

${\displaystyle \pi }$ 像所有无理数一样无法表示成分数，但${\displaystyle \pi }$ 等全部无理数都能表示成一系列叫连分数的连续分数形式：

${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$ 

在这连分数的任意一点截断化简，都能得到π的近似值；前四位近似值是3、${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$ 、${\displaystyle {\frac {333}{106}}}$ 、${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ 。这些数在历史上是π最广为人知且广为使用的几个近似值。用以上方式得出的${\displaystyle \pi }$ 的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π。^[30]π是超越数，据定义来说它不是代数数，又因此不可能是二次无理数；是故π不能表示为循环连分数。尽管${\displaystyle \pi }$ 的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，^[31]数学家发现了数条广义连分数能表示π，例如：^[32]

${\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$ 

近似值

圆周率近似值包括：

• 整数：3
• 分数（依准确度顺序排列）：13/4、16/5、19/6、22/7、179/57、267/85、333/106、355/113、52163/16604、53228/16943、55358/17621、57843/18412、60328/19203、103993/33102、245850922/78256779^[30]（选自 A063674 及 A063673。）
• 小数（整数后首80位）：3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...^[2]:240（另见 A000796）

其他进位制的近似值

• 二进制（整数后首48位）：11.001001000011111101101010100010001000010110100011…
• 十六进制（整数后首20位）：3.243F6A8885A308D31319…^[2]:242
• 六十进制（整数后首20位）：3;8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,36,17,43,4,29,7,10,3,41,17…^[3][4]

复数与欧拉恒等式

任何复数（以${\displaystyle z}$ 为例）都可以表示为一组实数对：极坐标系用实数${\displaystyle r}$ 表示半径，代表复平面上复数${\displaystyle z}$ 离原点的距离；实数${\displaystyle \varphi }$ 则表示夹角，即这条半径（复平面上复数${\displaystyle z}$ 与原点的连线）与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来，${\displaystyle z}$ 就可写成^[33]

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ ，这里${\displaystyle i}$ 代表虚数单位，即${\displaystyle i^{2}}$ ＝-1。

复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起^[34]：

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$ ，这里数学常数e是自然对数的底数。

欧拉公式确立了${\displaystyle e}$ 的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当${\displaystyle \varphi =\pi }$ 时，欧拉公式就能改写为欧拉恒等式的形式：

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$ 。此等式亦称“最奇妙的数学公式”（英语：the most remarkable formula in mathematics），全因它将五个最基本的数学常数简洁联系起来^[34][35]。

欧拉等式亦可用于求出方程${\displaystyle z^{n}=1}$ 的${\displaystyle n}$ 个不同复数根（这些根叫做${\displaystyle ^{n}n}$ 次单位根”^[36]），可以根据以下公式求得：

${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1)}$ 。

谱特征

${\displaystyle \pi }$ 常出现在有关几何的问题中。然而，不少和几何无关的问题也可看到${\displaystyle \pi }$ 的身影。

${\displaystyle \pi }$ 在许多用处中都会以特征值形式出现。例如理想的振动弦（英语：vibrating string）问题可以建模为函数${\displaystyle f}$ 在单位区间${\displaystyle [0,1]}$ 的图形，固定边界值为${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$ 。弦振动的模态会是微分方程的${\displaystyle f^{n}(x)+\lambda ^{2}f(x)=0}$ ，此处λ是相关的特征值。受施图姆－刘维尔理论限制，${\displaystyle \lambda }$ 只能是一些特定的数值。而${\displaystyle \lambda =\pi }$ 即为一个特征值，因为函数${\displaystyle f(x)=\sin(\pi x)}$ 满足边界条件及微分方程${\displaystyle \lambda =\pi }$ ^[37]。

${\displaystyle \pi }$ 是上述方程的最小特征值，也和弦振动的基本模式（英语：fundamental mode）有关。一种让弦振动的方式是提供弦能量，能量会满足维廷格函数不等式^[38]，其中提到若函数${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} }$ 使得${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$ ，且${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle f'}$ 都是平方可积函数，则以下的不等式成立：

${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$ 

此例中等号成立的条件恰好是${\displaystyle f}$ 为${\displaystyle \sin(\pi x)}$ 倍数的时候。因此${\displaystyle \pi }$ 似乎是维尔丁格不等式的最佳常数，也是最小的特征值（根据雷利商数（英语：Rayleigh quotient）的计算方式）

${\displaystyle \pi }$ 在更高维度的分析也有类似的角色，出现在其他类似问题的特征值中。就如以上所述，${\displaystyle \pi }$ 的一项特点是等周定理中的最佳常数：周长为${\displaystyle P}$ 的平面若尔当曲线，所围面积${\displaystyle A}$ 满足以下的不等式

${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2}}$ ，

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$ 及${\displaystyle P=2\pi r}$ ，故等号成立的条件是曲线为圆形^[39]。

圆周率π也和庞加莱不等式的最佳常数有关^[40]，${\displaystyle \pi }$ 是一维及二维的狄氏能量（英语：Dirichlet energy）特征向量最佳值中最小，会出现在许多经典的物理现象中，例如经典的位势论^[41][42][43]。其一维的情形即为维廷格不等式。

圆周率π也是傅里叶变换的重要常数，傅里叶变换属于积分变换，将实数线上有复数值、可积分的函数，变换为以下形式：

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$ 

傅里叶变换有几种不同的写法，但不论怎么写，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定会有某处出现${\displaystyle \pi }$ 。不过上述的定义是最经典的，因为其描述了L²空间中唯一的幺正算符，也是${\displaystyle L^{1}}$ 空间到${\displaystyle L^{\infty }}$ 空间的代数同态^[44]。

不确定性原理也用到${\displaystyle \pi }$ 。不确定性原理提出了可以将函数在空间及在频域中局部化程度的下限，用傅里叶变换的方式表示：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\ \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$ 。

物理的结果，有关量子力学中同时观测位置及动量的不确定性，见下文。傅里叶分析中出现π是史东－凡纽曼定理（英语：Stone–von Neumann theorem）的结果，证实了海森伯群的薛定谔表示（英语：Schrödinger representation）是唯一^[45]。

高斯积分

高斯积分是对高斯函数${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ 在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ 

此积分的计算可以先计算${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ 对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta =\pi }$ 

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为${\textstyle f(x)=a\exp {\frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}$ ，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求${\textstyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ 的积分。

另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为${\displaystyle \mu }$ 和标准差为${\displaystyle \sigma }$ 的正态分布的概率密度函数^[46]：

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp {\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ 

这函数是概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令${\displaystyle \mu =0}$ 和${\displaystyle \sigma =1}$ 即可变换得出${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ 。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布^[47]。

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及${\displaystyle \pi }$ 的核心作用，这定理本质上是联系着${\displaystyle \pi }$ 的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$ ，

这里的${\displaystyle \sigma _{x}}$ 与${\displaystyle \sigma _{p}}$ 分别为位置与动量的标准差，${\displaystyle \hbar }$ 是约化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立^[48]。

同样地，${\displaystyle \pi }$ 作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为${\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}}$ ^[49]。根据豪（Howe）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。

远古时期

圆周率在远古时期（公元前一千纪）已估算至前两位（3.1）。有些埃及学家声称，远至古王国时期时期的古埃及人已经用${\textstyle {\frac {22}{7}}}$ 作为圆周率的约数^{[50][注 2]}，但这说法受到质疑。^{[52][53][54][55]}

最早有记载的对圆周率估值在古埃及和巴比伦出现，两估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一块公元前1900至1600年的泥板，泥板上的几何学陈述暗示人们当时把圆周率视同${\textstyle {\frac {25}{8}}}$ （等于3.125）。^[2]:167埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰写年份为公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）载有用作计算圆面积的公式，该公式中圆周率等于${\textstyle ({\frac {16}{9}})^{2}}$ （≈3.1605）。^[2]:167

公元前4世纪的《百道梵书（英语：Shatapatha Brahmana）》的天文学运算把${\textstyle {\frac {339}{108}}}$ （≈3.139，精确到99.91%）用作圆周率估值^[56]。公元前150年前其他印度文献把圆周率视为${\textstyle {\sqrt {10}}}$ （≈3.1622）^[2]:169。

割圆时代

第一条有纪录、严谨计算π数值的算法是用正多边形的几何算法，在公元前250年由希腊数学家阿基米德发明。^[2]:170这算法用了有一千年之久，因而有时π亦称阿基米德常数。^{[2]:175、205}阿基米德的算法是在计算圆的外切正六边形及内接正六边形的边长，以此计算${\displaystyle \pi }$ 的上限及下限，之后再将六边形变成十二边形，继续计算边长，一直计到正96边形为止。他根据多边形的边长证明${\textstyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}}$ （也就是${\textstyle 3.1408<\pi <3.1429}$ ）^[57]。阿基米德得到的上限${\textstyle {\frac {22}{7}}}$ 也造成常见误解，认为${\displaystyle \pi }$ 就等于${\textstyle {\frac {22}{7}}}$ ^[2]:171。在公元前150年，希腊罗马的科学家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一书中提到π的数值是3.1416，可能来自阿基米德，也可能来自阿波罗尼奥斯。^[2]:176[58]数学家在1630年利用多边形的方式计算π到第39位小数，一直到1699年，其他数学家才利用无穷级数的方式打破其纪录，计算到第71位小数^[59]。

中国历史上，${\displaystyle \pi }$ 的数值有3^[60]、3.1547（公元前一世纪）、${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ （公元前100年，数值约3.1623）及${\textstyle {\frac {142}{45}}}$ （第三世纪，数值约3.1556）^{[2]:176–177}。大约在公元265年，曹魏数学家刘徽创立割圆术，用正3072边形计算出π的数值为3.1416。^[61][2]:177他后来又发明了较快的算法，利用边数差两倍的正多边形，其面积的差值会形成等比数列，其公比为${\textstyle {\frac {1}{4}}}$ 的原理，配合96边形算出π的值为3.14。^[61]祖冲之在公元480年利用割圆术计算12288边形边长，得到π的值在3.1415926和3.1415927之间。他同时提出了π的约率${\textstyle {\frac {22}{7}}}$ 和密率${\textstyle {\frac {355}{113}}}$ 。在之后的八百年内，这都是π最准确的估计值。^[2]:178为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。^[62]

印度天文学家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亚哈塔历书》中使用了3.1416的数值。^[2]:179斐波那契在大约1220年用独立于阿基米德多边形法，计算出3.1418^[2]:180。意大利作家但丁·阿利吉耶里用的数值则是${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$ 。^[2]:180

波斯天文学家卡西在1424年利用3×2²⁸边的多边形，计算到六十进制的第9位小数，相当十进制的第16位小数。^[63][64]这一突破成为当时的纪录，延续了约180年。^[65]法国数学家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×2¹⁷边形计算到第9位小数^[65]，佛兰芒数学家阿德里安·范·罗门在1593年计算到第15位小数^[65]。荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦在1596年计算到第20位小数，他之后又计算到第35位小数（因此在二十世纪初之前，圆周率在德国会称为鲁道夫数）。^{[2]:182–183}荷兰科学家威理博·司乃耳在1621年计算到第34位小数^[2]:183，而奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格（英语：Christoph Grienberger）在1630年用10⁴⁰边形计算到第38位小数^[66]，至今这仍是利用多边形算法可以达到最准确的结果^[2]:183。

无穷级数

16及17世纪时，开始改用无穷级数的方式去计π。无穷级数是一组无穷数列的和^{[2]:185–191}。无穷级数让数学家可以计算出比阿基米德以及其他用几何方式计算的数学家更准确的结果。^{[2]:185–191}虽然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等欧洲数学家利用无穷数列计算π而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科学家在大约1400到1500年之间发现。^{[2]:185-186[67]}第一个记载用无穷级数计算π的人是约公元1500年左右时，印度天文学家尼拉卡莎·萨默亚士（英语：Nilakantha Somayaji）在他的著作《系统汇编（英语：Tantrasamgraha）》中用梵语诗所记录。^[68]当时没有这数列对应的证明，而证明出现在另一本较晚的印度作品《基本原理》，年代约在公元1530年。尼拉卡莎将该数列归功于更早期的印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）（1350–1425）。^[68]相关的无穷级数有许多，包括有关${\displaystyle \sin }$ 、${\displaystyle \tan }$ 及${\displaystyle \cos }$ 的，现在称为马德哈瓦数列（英语：Madhava series）或π的莱布尼茨公式^[68]。玛达瓦在1400年用无穷级数计算π到第11位小数，但在1430年一位波斯数学家卡西利用多边形算法否定了他算的的结果^[69]。

欧洲发现的第一条无穷项圆周率公式是无穷乘积（和一般用来计算π的无穷级数不同），由法国科学家弗朗索瓦·韦达在1593年发现^[2]:187[71]：

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$ 

约翰·沃利斯在1655年发现了沃利斯乘积，是欧洲发现的第二条无穷项圆周率公式^[2]:187：

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }$ 

微积分学由英国科学家艾萨克·牛顿及德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代发明，许多计π的无穷级数出现。牛顿自己就用反正弦（${\displaystyle \arcsin }$ ）数列在1655年或1666年将π近似到第15位小数，后来写到“我很羞愧告诉你我为了计算它用了多少数字，我当时没有做其他事。”^[70]

苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里在1671年发现了马德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年发现：^{[2]:188–189[72]}

${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$ 

这公式即为格雷果里－莱布尼茨公式，在${\displaystyle z=1}$ 时数值为${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ 。^[72]1699年时英国数学家亚伯拉罕·夏普用格雷果里－莱布尼茨公式，在${\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ 时计算，计算到π的第71位小数，打破由多边形算法得到的第39位小数的记录。^[2]:189格雷果里－莱布尼茨公式在${\displaystyle z=1}$ 时非常简单，但收敛到最终值的速度非常慢，现在不会再用此公式来计π。^[2]:156

约翰·梅钦在1706年用格雷果里－莱布尼茨级数产生了可以快速收敛的公式：^{[2]:192–193}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ 

梅钦用这公式计到π第100位小数^[2]:72–74后来其他数学家也发展了一些类似公式，现在称为梅钦类公式，创下了许多计算π位数的纪录。^[2]:72–74在进入电脑时代时，梅钦类公式仍然是耳熟能详可以计算π的公式，而且在约250年的时间里，很多有关π位数的纪录都是梅钦类公式所得，比如在1946年时由达尼尔·弗格森（Daniel Ferguson）用这类公式计到第620位小数，是没有计算设备辅助的最佳纪录。^{[2]:192–196, 205}

1844年，计算天才扎卡里亚斯·达斯（英语：Zacharias Dase）在德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的要求下以梅钦类公式心算了π的200位小数，并创下纪录。^[2]:194-196英国数学家威廉·谢克斯（英语：William Shanks）花了15年的时间计算π到小数707位，不过第528位小数出错，后面的小数也都不正确。^{[2]:194–196}

收敛速度

有些π的无穷级数收敛的比其他级数要快，数学家一般会选用收敛速度较快的级数，可以在较少的计算量下计算π，且达到需要的准确度^{[73][2]:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}。以下是π的莱布尼茨公式：^[2]:69–72

${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$ 

随着一项一项的值加入总和中，只要项次够多，总和最后会慢慢接近π。不过此数列的收敛速度很慢，要到50万项之后，才会精确到π的第五位小数^[74]。

尼拉卡莎在15世纪发展了π的另一条无穷级数，收敛速度比格雷果里－莱布尼茨公式快很多：^[75]

${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$ 

以下比较两条级数的收敛速率：

计算前五项后，格雷果里－莱布尼茨级数的和跟π的误差为0.2，而尼拉卡莎级数和的误差为0.002。尼拉卡莎级数收敛快很多，也甚为适合用来计π的值。收敛更快的级数有梅钦类公式及楚德诺夫斯基算法，后者每计一项就可以得到14位正确的小数位^[73]。

无理与超越性

并非所有和π有关的研究都旨在提高计算它的准确度。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，建立了所有平方数倒数和与π的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了π、素数的重要关联，对日后黎曼ζ函数的研究影响深远。^[76]

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$ 

1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯用正切函数的无穷连分数表达式证明了π是无理数。^[2]:5[77]1794年，法国数学家阿德里安－马里·勒让德证明了${\displaystyle \pi ^{2}}$ 也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数${\displaystyle \alpha }$ ，${\displaystyle e^{\alpha }}$ 都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼－魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，π只能是超越数，进而证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。^[2]:196[78]哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出后，经过希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。^[79]

引入π符号

在用π专指“圆周率”之前，希腊字母即已用于几何概念中^[2]:166。威廉·奥特雷德在1647年起在《数学之钥》（Clavis Mathematicae）就已经用${\displaystyle \pi }$ 及${\displaystyle \delta }$ （对应p和d的希腊字母）来表示圆的周长及直径的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新数学导论》（A New Introduction to the Mathematics）提到了${\displaystyle \pi }$ ，是目前已知最早专门用希腊字母${\displaystyle \pi }$ 表示圆周和其直径比例的人^[80]。这希腊字母第一次出现是在书中讨论一块半径1的圆时提到“其圆周长一半（${\displaystyle \pi }$ ）”。琼斯选用${\displaystyle \pi }$ 可能因它是希腊文“周边”一词“περιφέρεια”的首字母^[81]。不过琼斯提到，他那些有关${\displaystyle \pi }$ 的算式出自“真正聪明的约翰·梅钦先生”，人们推测在琼斯之前，约翰·梅钦就已开始用${\displaystyle \pi }$ 表示圆周率^[2]:166。

琼斯在1706年开始使用此希腊字母，但直到莱昂哈德·欧拉在其1736年出版的《力学（英语：Mechanica）》中开始使用之后，其他数学家才纷纷开始用${\displaystyle \pi }$ 指代圆周率。在此之前，数字家可能用像c或p之类的字母代表圆周率^[2]:166。欧拉与欧洲其他数学家间时常互相写信来往，${\displaystyle \pi }$ 的用法迅速传播开来^[2]:166。1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了${\displaystyle \pi }$ ，写道：“简洁起见，我们将此数字写为${\displaystyle \pi }$ ，${\displaystyle \pi }$ 等于半径为1的圆周长的一半。”这表示方式之后也推展到整片西方世界^[2]:166。

计算机时代与迭代算法

二十世纪中期计算机技术发展、革新再次引发了计算π位数的热潮。美国数学家约翰·伦奇及李维·史密斯在1949年用桌上型计算机计算到1120位^[2]:205。同年，乔治·韦斯纳（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼带领的团队利用反三角函数（arctan）的无穷级数，用ENIAC计算到了小数后2037位，花了70小时的电脑工作时间^[82]。这纪录后来多次由其他透过arctan级数计算出的结果打破（1957年到7480位小数，1958年到第一万位数，1961年到第十万位小数），直到1973年，小数点后第一百万位小数经已算出^[2]:197。

1980年代有两项发明加速计算了π。第一项是发现了新的迭代法去计π的值，计算速度比无穷级数快很多；另一项是发现了可以快速计算大数字乘积的乘法算法^[2]:15–17。电脑大部分的工作时间都是在计乘法，这类算法对现代计π格外重要^[2]:131。这类算法包括嘉良对马（Karatsuba）算法、谭曲（Toom－Cook）乘法及以傅里叶变换为基础的乘法算法（傅里叶乘法）^{[2]:132, 140}。

迭代算法最早是在1975年至1976年间分别由美国物理学家尤金·萨拉明（英语：Eugene Salamin (mathematician)）及奥地利科学家理查·布兰特（英语：Richard Brent (scientist)）独立提出^[2]:87。这两条算法没有依赖无穷级数来计算。迭代会重复特定计算，将前一次的计算结果作为这一次的输入值，使得计算结果渐渐的趋近理想值。此方式的原始版本其实是在160年前由卡尔·弗里德里希·高斯提出，现在称为算术－几何平均数算法（AGM法）或高斯－勒让德算法^[2]:87。萨拉明及布兰特都曾修改之，这算法也称为萨拉明－布兰特算法。

迭代算法收敛速度比无穷级数快很多，在1980年代以后广为使用。无穷级数随着项次的增加，一般来说正确的位数也会增加几位，但迭代算法每计算多一次，正确位数会呈几何级数增长。例如萨拉明－布兰特算法每计算多一次，正确位数会是之前的二倍。1984年加拿大人乔纳森·波温（英语：Jonathan Borwein）及彼得·波温（英语：Peter Borwein）提出迭代算法，每计算多一次，正确位数会是之前的四倍，1987年时有另一条迭代算法，每计算多一次，正确位数会是之前的五倍^[83]。日本数学家金田康正使用的算法在1955年及2002年间创下了若干项纪录^[84]。不过迭代算法的快速收敛也有其代价，需要的内存明显比无穷级数多^[84]。

计算π的意义

一般而言，π值并不需要过于精确便能够满足大部分数学运算的需求。按照约·安（Jörg Arndt）及古里斯佗夫·希奴（Christoph Haenel）的计算，39位精确度已可将可观测宇宙圆周的精确度准确至一粒原子大小，足以运算绝大多数宇宙学的计算需求^[85]。尽管如此，和π有关的成就往往成为世界各地的新闻头条；部分人出于对破纪录的冲动，依然奋力算出π小数点后上千甚至上百万位^{[2]:17–19[86][87]}。此外也有测试超级计算机、测试数值分析算法（包括高精度乘法算法（英语：Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs））等实际好处。纯粹数学这领域也能计算π的位数评定其随机度^[2]:18。

快速收敛级数

现代计算π的程序不仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，出现了可用来计算π的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。^[84]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与π相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。^{[2]:103–104}下式即为一例，其中用到了模方程：

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}.}$ 

这无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。^[2]:104第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀（英语：Bill Gosper），他在1985年算得了小数点后一千七百万位。^{[2]:104, 206}拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟（英语：Chudnovsky brothers）进一步发展了这类算法。^{[2]:110–111}后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.}$ 

此公式每计算一项就能得到π的约14位数值^[88]，因而用于突破圆周率的数位的计算。利用这公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（10⁹）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×10¹²）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（10¹³）位。^{[2]:110–111, 206[89][90]}类似的公式还有拉马努金-佐藤级数（英语：Ramanujan–Sato series）。

2006年，加拿大数学家西蒙·普劳夫利用PSLQ整数关系算法（英语：integer relation algorithm）^[91]按照以下模版生成了几条计算π的新公式：

${\displaystyle {\pi }^k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^k}\left(\frac{a}{q^n-1}+\frac{b}{q^{2n}-1}+\frac{c}{q^{4n}-1}\right)}${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}  ，

${\displaystyle q}$ 为e^{${\displaystyle \pi }$} ，${\displaystyle k}$ 是奇数，${\displaystyle a,b,c}$ 是普劳夫计算出的有理常数。[92]

统计模拟法

统计模拟法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的计数方法，经大量重复试验计算事件发生频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分接近概率）可以求得${\displaystyle \pi }$ 的近似值^[93]。 布芬（Buffon）投针问题就是其中一项实例：长度${\displaystyle l}$ 的针随机往画满间距${\displaystyle t\left(l\leq t\right)}$ 的平行线的平面上抛掷${\displaystyle n}$ 次， 如果针与平行直线相交${\displaystyle m}$ 次，${\displaystyle n}$ 充分大就可根据以下公式算出${\displaystyle \pi }$ 的近似值^[94]：

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{mt}}}$ 

用统计模拟法计${\displaystyle \pi }$ 的另一例子是随机往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似于${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ 。^{[2]:39–40[95]}

此外还可用随机游走试验，并用统计模拟法计算${\displaystyle \pi }$ 值，如抛掷一枚均匀的硬币${\displaystyle N}$ 次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数${\displaystyle n_{N}}$ 服从二项分布且

${\displaystyle \Pr(n_{N}=m)={\binom {N}{m}}({\frac {1}{2}})^{m}({\frac {1}{2}})^{N-m}}$ 

因为硬币均匀，所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量${\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)}$ ，当抛掷结果为正面时${\displaystyle X_{k}=1}$ 否则为-1，且${\displaystyle X_{k}=\pm 1}$ 且取何值有相同概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量${\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)}$ 求和可得

${\displaystyle W_{N}=\sum _{k=1}^{N}X_{k}}$ 

设k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到${\displaystyle m-\left(N-m\right)=k}$ 。变换式子，得${\displaystyle m={\frac {N+k}{2}}}$ ，因此

${\displaystyle \Pr(W_{N}=k)={\binom {N}{\frac {N+k}{2}}}{\frac {1}{2^{N}}}}$ ，其中${\displaystyle k=-N,-N+2,-N+4,\ldots ,N-2,N}$ 。

可证明^[96]，

${\displaystyle E(W_{N})=0}$ ，${\displaystyle E(W_{N}^{2})=N}$ ，以及${\textstyle E(|W_{N}|)={\binom {N}{\left\lceil {N/2}\right\rceil {\frac {\left\lceil {N/2}\right\rceil }{2^{N-1}}}}}={\begin{cases}{\frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}},&{\text{若 }}N{\text{偶，}}\\{\frac {N!!}{(N-1)!!}},&{\mbox{若 }}N{\mbox{奇。}}\end{cases}}}$ 

并且当N变大时，${\textstyle E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)}$ 的值会渐近于${\textstyle {\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}}$ ，因此当N充分大时可根据以下公式算出${\displaystyle \pi }$ 的近似值：^[97]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}}$ 

和其他计算${\displaystyle \pi }$ 值的方法相比，蒙特卡洛方法收敛速度很慢，而且无论实验多少次，都无从得知${\displaystyle \pi }$ 的估值已经精确到第几位。因此，当追求速度或精度时，蒙特卡洛方法不适合用来估计${\displaystyle \pi }$ 。^[2]:43[98]

阀门算法

1995年引入的两条算法开辟了研究${\displaystyle \pi }$ 的新途径。因为每计算出一位数字，该数就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中，这种新进算法叫阀门算法（英语：spigot algorithm）。^{[2]:77–84[99]}这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。^[2]:77–84

1995年，美国数学家斯坦·瓦格纳（英语：Stan Wagon）和斯坦利·拉比诺维茨（Stanley Rabinowitz）发明了一种简单的阀门算法^{[99][2]:77[100]}，其运算速度类似arctan算法，但速度比迭代算法慢^[2]:77。

贝利－波尔温－普劳夫公式（BBP）是另一条阀门算法，属于一种位数萃取算法（英语：digit extraction algorithm）。1995年，西蒙·普劳夫等人发现^{[2]:117, 126–128[101]}

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$ 

这公式和其他公式不同，可以计算${\displaystyle \pi }$ 的任何十六进小数位，而不用计算前面全部小数位^{[2]:117, 126–128}。十六进数位可计算得到特定二进数位；想要得到八进制数位的话，计算一、两位十六进小数即可。目前也已发现一些这种算法的变体，不过还没有发现针对十进制、可以快速生成特定小数位的位数萃取算法^[102]。位数萃取算法的一项重要用途是用来确认声称是计算到${\displaystyle \pi }$ 小数位数的新纪录：若有声称是新纪录的计算结果出现，先将十进制的数值变换到十六进制，再用贝利－波尔温－普劳夫公式去确认最后一些位数（用乱数决定），若这些位数都对，就能有一定把握认为此计算结果是对的^[90]。

1998年到2000年间，分布式计算计划PiHex（英语：PiHex）用贝拉公式（贝利－波尔温－普劳夫公式的一种变体）计算${\displaystyle \pi }$ 第10¹⁵位，结果是0^[2]:20[103]。2010年9月，有雅虎员工用公司的Apache Hadoop应用程序在上千台电脑计算π在2×10¹⁵位开始往后256位，其第2×10¹⁵位刚好也是0^[104]。

${\displaystyle \pi }$ 与圆密切相关，出现在许多几何学和三角学的公式中（特别是与圆、椭圆和球体相关的那些）。 此外，${\displaystyle \pi }$ 也出现在其他学科的重要公式中，比如统计学、物理学，傅立叶分析和数论的公式。

几何学与三角学

${\displaystyle \pi }$ 出现在基于圆的几何图形（如椭圆、球、圆锥与环面）的面积、体积公式中。下面是一些用到π的常见公式：^[9]

• 半径${\displaystyle r}$ 的圆周长${\displaystyle 2\pi r}$ 。
• 半径${\displaystyle r}$ 的圆面积${\displaystyle \pi r^{2}}$ 。
• 半径${\displaystyle r}$ 的球体积${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 。
• 半径${\displaystyle r}$ 的球面面积${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ 。

上述公式是n维球的体积与其边界（（n−1）维球的球面）的表面积的特殊情况，具体将在后文给出解释。

描述由圆生成的图形的周长、面积或体积的定积分常涉及π。例如，表示半径为1的半圆的面积的积分为^[105]

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$ 

${\textstyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ 的积分表示上半圆（此处的平方根由勾股定理得出），从-1到1的积分${\textstyle \int _{-1}^{x}}$ 可用来计算计算半圆与x 轴间的面积。

三角函数要用到角，而数学家常用弧度作角度单位。π在弧度制起重要作用，数学家将周角，即360度定义为2π度。^[106]由这条定义可得，180度＝π弧度，1度＝${\textstyle {\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$ 弧度。^[106]因此，常用的三角函数的周期为${\displaystyle \pi }$ 的倍数；例如，正弦和余弦周期为π，^[107]任何角度${\displaystyle \theta }$ 和任何整数${\displaystyle k}$ 都有

${\textstyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}$ 及${\textstyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}$ 。^[107]

拓扑学

常数${\displaystyle \pi }$ 出现在将平面微分几何（英语：differential geometry of surfaces）及其拓扑学联系起来的高斯－博内定理中。具体来说，如果紧曲面Σ的高斯曲率为${\displaystyle K}$ ，那么有

${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$ ，

其中${\displaystyle \chi (\Sigma )}$ 是该曲面的欧拉示性数，是整数。^[108]例如，曲率为1（也就是说其曲率半径（英语：radius of curvature）也为1，对于球面而言此时的曲率半径与半径重合）的球面${\displaystyle S}$ 的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算，其结果为2。于是，便得出

${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$ 

即为半径为1的球面的表面积公式。

常数${\displaystyle \pi }$ 还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中，特别是那些涉及通过陈－韦伊同态的特征类^[109]。

向量分析

向量分析是与向量场的性质有关的微积分的分支，并有许多物理用途，例如用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源${\displaystyle Q}$ 的牛顿位势（英语：Newtonian potential）为^[110]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}}$ 

表示位于距原点${\displaystyle \left\vert {\boldsymbol {x}}\right\vert }$ 的单位质量（或电荷）的势能，而${\displaystyle k}$ 是维度常数。在这里由${\displaystyle \mathrm {E} }$ 表示的场可以是（牛顿）引力场或（库仑）电场，是位势的负梯度：

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V.}$ 

特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律。高斯定律表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面${\displaystyle S}$ 的场的向外通量等于${\displaystyle 4\pi kQ}$ ：

${\displaystyle 4\pi kQ=}$ ${\displaystyle \oiint }$  ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }$ 

标准形式会将${\displaystyle 4\pi }$ 的这因子吸收到常数${\displaystyle k}$ 中，但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外，${\displaystyle 4\pi }$ 是单位球面的表面积，但并没有假设${\displaystyle S}$ 是球面。然而，作为散度定理的结果，由于远离原点的区域是真空（无源的），只有${\displaystyle \mathrm {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}}$ 中的表面${\displaystyle S}$ 的同调类与计算积分有关，因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替，特别是球形，因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势${\displaystyle V}$ 的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数的${\displaystyle 4\pi kQ}$ 倍：

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).}$ 

通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )}$ 

其中${\displaystyle \rho }$ 是分布函数。

常数${\displaystyle \pi }$ 在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用，爱因斯坦方程是形成广义相对论基础的一条基本公式，并且把引力的基本相互作用描述为物质和能量引起的时空弯曲的结果：^[111]

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}$ 

${\displaystyle R_{\mu v}}$ 是里奇曲率张量，${\displaystyle R}$ 是数量曲率，${\displaystyle g_{\mu v}}$ 是度量张量，${\displaystyle \Lambda }$ 是宇宙学常数，${\displaystyle G}$ 是万有引力常数，${\displaystyle c}$ 是真空中的光速，而${\displaystyle T_{\mu v}}$ 是应力－能量张量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟，并化简（reduce）至在弱域的极限，而右边是分布函数的模拟乘以${\displaystyle 8\pi }$ 。

柯西积分公式

在复分析中，沿复平面若尔当曲线的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西积分公式表明，对任何若尔当曲线${\displaystyle \gamma }$ 内任一点${\displaystyle z_{0}}$ ，以下围道积分给出${\displaystyle 2\pi i}$ ：^[112]

${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$ 

该命题是柯西积分定理的直接推论，后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变，因而沿任一曲线的积分和沿以${\displaystyle z_{0}}$ 为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地，该公式对不通过${\displaystyle z_{0}}$ 点的任意可求长曲线都成立，但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数。

一般形式的柯西积分公式建立了全纯函数${\displaystyle f(z)}$ 在若尔当曲线${\displaystyle \gamma }$ 上的值与曲线内任意点${\displaystyle z_{0}}$ 处值的关系：^[113][114]

${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$ 

柯西积分定理是留数定理的一项特例。根据留数定理，在区域内除去有限个点解析的亚纯函数${\displaystyle g(z)}$ 在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足：

${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$ 

Γ函数与斯特灵公式

阶乘函数${\displaystyle n!}$ 的值等于所有小于等于${\displaystyle n}$ 的正整数之积，它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是阶乘的推广。它在复平面的右半平面定义为：

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\,{\rm {d}}t}$ 

再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整块复数域。当自变量${\displaystyle z=n}$ 取正整数时，${\displaystyle \Gamma }$ 函数给出阶乘${\displaystyle \left(n-1\right)!}$ ；当自变量取半整数时，计算结果含有${\displaystyle \pi }$ 。例如${\textstyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$ ，${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$ 。^[115]