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泊松方程 (法语:Équation de Poisson )是数学 中一个常见于静电学 、机械工程 和理论物理 的偏微分方程 ,因法国 数学家 、几何学家 及物理学家 泊松 而得名的。[1]
方程的叙述
泊松方程为
Δ
φ
=
f
{\displaystyle \Delta \varphi =f}
在这里
Δ
{\displaystyle \Delta }
代表的是拉普拉斯算子 ,而
f
{\displaystyle f}
和
φ
{\displaystyle \varphi }
可以是在流形 上的实数 或复数 值的方程 。当流形 属于欧几里得空间 ,而拉普拉斯算子 通常表示为
∇
2
{\displaystyle {\nabla }^{2}}
,因此泊松方程通常写成
∇
2
φ
=
f
{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}
在三维直角坐标系 ,可以写成
(
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
)
φ
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}
如果有
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
恒等于0,这个方程就会变成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程 ”。
Δ
φ
=
0.
{\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}
泊松方程可以用格林函数 来求解;如何利用格林函数 来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程 。现在也发展出很多种数值解,如松弛法 (一种迭代法 )。
数学表达
通常泊松方程表示为
−
Δ
φ
=
f
{\displaystyle -\Delta \varphi =f}
这里
Δ
{\displaystyle \Delta }
代表拉普拉斯算子 ,
f
{\displaystyle f}
为已知函数,而
φ
{\displaystyle \varphi }
为未知函数。当
f
=
0
{\displaystyle f=0}
时,这个方程被称为拉普拉斯方程 。
为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件 :
{
−
Δ
φ
=
f
in
Ω
φ
=
g
auf
∂
Ω
{\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}
其中
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
为有界开集 。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:
Φ
(
x
)
=
{
−
1
2
π
ln
|
x
|
n
=
2
1
n
(
n
−
2
)
ω
n
1
|
x
|
n
−
2
n
≥
3
{\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}
其中
ω
n
{\displaystyle \omega _{n}}
为n维欧几里得空间 中单位球面的体积,此时可通过卷积
(
Φ
∗
f
)
{\displaystyle (\Phi *f)}
得到
−
Δ
φ
=
f
{\displaystyle -\Delta \varphi =f}
的解。
为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数
G
(
x
,
y
)
=
Φ
(
y
−
x
)
−
ϕ
x
(
y
)
{\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}
ϕ
x
{\displaystyle \phi ^{x}}
为一个校正函数,它满足
{
Δ
ϕ
x
=
0
in
Ω
ϕ
x
=
Φ
(
y
−
x
)
auf
∂
Ω
{\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}
通常情况下
ϕ
x
{\displaystyle \phi ^{x}}
是依赖于
Ω
{\displaystyle \Omega }
。
通过
G
(
x
,
y
)
{\displaystyle G(x,y)}
可以给出上述边界条件的解
u
(
x
)
=
−
∫
∂
Ω
g
(
y
)
∂
G
∂
ν
(
x
,
y
)
d
σ
(
y
)
+
∫
Ω
f
(
y
)
G
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}
其中
σ
{\displaystyle \sigma }
表示
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法 得到。
静电学
在静电学 很容易遇到泊松方程。对于给定的f 找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度 然后找出电势 的问题。在国际单位制 (SI )中:
∇
2
Φ
=
−
ρ
ϵ
0
{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}
此
Φ
{\displaystyle \Phi \!}
代表电势(单位为伏特 ),
ρ
{\displaystyle \rho \!}
是体电荷密度 (单位为库仑 /立方米),而
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\!}
是真空电容率 (单位为法拉 /米)。
如果空间中有某区域没有带电粒子,则
ρ
=
0
,
{\displaystyle \rho =0,\,}
此方程就变成拉普拉斯方程 :
∇
2
Φ
=
0.
{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}
高斯电荷分布的电场
如果有一个三维球对称的高斯分布 电荷密度
ρ
(
r
)
{\displaystyle \rho (r)}
:
ρ
(
r
)
=
Q
σ
3
2
π
3
e
−
r
2
/
(
2
σ
2
)
,
{\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}
此处,Q 代表总电荷
此泊松方程:
∇
2
Φ
=
−
ρ
ϵ
0
{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}
的解Φ(r )则为
Φ
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
Q
r
erf
(
r
2
σ
)
{\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}
erf(x )代表的是误差函数 .
注意:如果r 远大于σ,erf(x )趋近于1,而电场Φ(r )趋近点电荷 电场
1
4
π
ϵ
0
Q
r
{\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}
;正如我们所预期的。
参阅
离散泊松方程
泊松-玻尔兹曼方程
泊松方程的唯一性定理 参考文献
引用
^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology , American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30 ] , ISBN 9780922152766 , (原始内容存档 于2020-11-20) .
来源
Poisson Equation (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. 编辑