泊松方程

泊松方程(法语:Équation de Poisson)是数学中一个常见于静电学机械工程理论物理偏微分方程,因法国数学家几何学家物理学家泊松而得名的。[1]

方程的叙述

泊松方程为

 

在这里 代表的是拉普拉斯算子,而  可以是在流形上的实数复数值的方程。当流形属于欧几里得空间,而拉普拉斯算子通常表示为 ,因此泊松方程通常写成

 

在三维直角坐标系,可以写成

 

如果有 恒等于0,这个方程就会变成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。

 

泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程英语Screened Poisson equation。现在也发展出很多种数值解,如松弛法英语relaxation method(一种迭代法)。

数学表达

通常泊松方程表示为

 

这里 代表拉普拉斯算子 为已知函数,而 为未知函数。当  时,这个方程被称为拉普拉斯方程

为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件:

 

其中   为有界开集

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:

 

其中 为n维欧几里得空间中单位球面的体积,此时可通过卷积 得到  的解。

为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数

 

  为一个校正函数,它满足

 

通常情况下 是依赖于 

通过  可以给出上述边界条件的解

 

其中  表示 上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

静电学

静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电势的问题。在国际单位制SI)中:

 

 代表电势(单位为伏特), 体电荷密度(单位为库仑/立方米),而 真空电容率(单位为法拉/米)。

如果空间中有某区域没有带电粒子,则

 

此方程就变成拉普拉斯方程

 

高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度  

 

此处,Q代表总电荷

此泊松方程:  的解Φ(r)则为

 

erf(x)代表的是误差函数.

注意:如果r远大于σ,erf(x)趋近于1,而电场Φ(r)趋近点电荷电场  ;正如我们所预期的。

参阅

参考文献

引用

  1. ^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, (原始内容存档于2020-11-20) .

来源