开集

在数学上，特别是拓朴学中，开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合。

通常微积分的课程中，会借助欧式空间的距离去描述数列极限；直观上，当 $n$ 越来越大时数列 $x_{n}$ 跟 $a$ 要多靠近有多靠近的时候，就说 $a$ 是数列 $x_{n}$ 的极限，但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”，开集就是来自于＂ $a$ 点附近＂这样的直观概念。类似的，函数极限也需要距离的概念去严谨定义。

满足

x^{2}+y^{2}=r^{2}

的点

(x,y)

着蓝色。满足

x^{2}+y^{2}<r^{2}

的点

(x,y)

着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定义

欧式空间

$\mathbb {R} ^{n}$ 代表 $n$ 维欧式空间，而 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任两点距离（欧式距离）为

d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}

若 $O\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ，且对所有 $x\in O$ ，存在一个 $r>0$ ，使得对所有 $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ，只要 $d_{n}(x,\,y)<r$ 就有 $y\in O$ ，那么就说子集 $O$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一个开集。也就是说，开集 $O$ 里的所有点 $x$ 都有一个以 $x$ 为中心的开球完全包含于 $O$ 。

赋距空间

欧式空间的开集很容易地推广到赋距空间 $(M,d)$ 中：

$U$ 是 $M$ 的子集，若对所有 $U$ 中的点 $x$ ，存在 $r>0$ 使得对所有 $M$ 中的点 $y$ ，只要 $d(x,y)<r$ ，则 $y$ 也属于 $U$ ，或以正式的逻辑符号表述为

$(\forall x\in U)(\exists r>0)(\forall y\in M)\left[\,(d(x,\,y)<r)\Rightarrow (y\in U)\,\right]$

则称 $U$ 是 $M$ 的一个开集。也就是说，如果所有 $U$ 中的点都有完全包含于 $U$ 的开球， $U$ 便是开集。

这的确推广了欧式空间部分的定义，因为欧式距离和欧式空间本身就组成了一个赋距空间。

赋距空间的开集还会有以下的性质：

定理：

若 $(M,d)$ 为赋距空间，则

(1) $\varnothing$ 和 $M$ 也是 $M$ 的开集。

(2) 若 $A$ 和 $B$ 都是 $M$ 的开集，则 $A\cap B$ 也是 $M$ 的开集。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ （ ${\mathcal {F}}$ 是 $M$ 的一个子集族），若所有 $O\in {\mathcal {F}}$ 都是开集，则 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F$ 也是 $M$ 的开集。（也就是说，任意数量开集的并集也是开集）

关于上面性质的证明，(1)是非常显然的；(2)只需取每一点比较小的开球即可^{[注 1]}；(3)根据并集的定义也是非常显然的^{[注 2]}。

事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。

拓扑空间

开集是拓扑空间定义的基石；也就是从任意母集合 $X$ 出发，再选取 $X$ 的特定的子集族 $\tau$ ，规定 $\tau$ 中的集合就是开集，这样的子集族 $\tau$ 被叫做 $X$ 上的拓朴：

$X$ 为集合，若 $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 满足

(1) $\varnothing ,\,X\in \tau$

(2) 若 $A,B\in \tau$ 则 $A\cap B\in \tau$ 。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq \tau$ ，则 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau$ 。（也就是说，任意数量开集的并集也是开集）

则称 $\tau$ 为 $X$ 上的拓朴，并称 $(X,\,\tau )$ 为一拓扑空间。任何 $O\in \tau$ 被称为开集。

根据上一节赋距空间的性质，取 $\tau _{d}$ 为所有 $M$ 的开集所构成的子集族，则显然 $(M,\,\tau _{d})$ 也是一拓扑空间。

例子

度量空间 $(X,d)$ 中，以点 $x\in X$ 为中心， $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 为开集，任意的开集 $A$ 包含以 $x\in A$ 为中心，充分小的 $\varepsilon$ 为半径的球体 $B(x,\varepsilon )$ 。
流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此类概念，比如度量空间和一致空间）时，都会用到开集的概念。

拓扑空间X的每个子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

注释

^ 若 R > r，以 x 为中心半径为 R 的开球包含于集合 A；以 x 为中心半径为 r 的开球包含于集合 B；，那以 x 为中心半径为r的开球一定包含于A ∩ B。
^ 开集直观上意为每点都有个开球完全在此集合内，而任意个开集的并集仍保持上述性质。

[1] 若 R > r，以 x 为中心半径为 R 的开球包含于集合 A；以 x 为中心半径为 r 的开球包含于集合 B；，那以 x 为中心半径为r的开球一定包含于A ∩ B。

[2] 开集直观上意为每点都有个开球完全在此集合内，而任意个开集的并集仍保持上述性质。

[注 1]

[注 2]

开集

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定义

欧式空间

赋距空间

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例子

用处

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