拓扑学

拓扑学开始于对几何上特定问题的研究。李昂哈德·欧拉于1736年有关柯尼斯堡七桥问题的论文^[2]被认为是现代拓扑学的第一份学术著作。

“拓扑学”一词于1847年由利斯廷在《Vorstudien zur Topologie》一书^[3]中提出。拓扑学的英文于1883年在自然杂志上对利斯廷的讣文^[4]中第一次出现，用来区分“…定性的几何学，于主要被以定量关系对待的一般几何学中”。不过，上述用词都与现代对拓扑学的定义不完全相同。

现代拓扑学主要依靠集合论的概念。集合论由格奥尔格·康托尔于19世纪后半所发展。除了建立起集合论的基本概念外，康托尔亦将欧氏空间里的点集合作为他对傅里叶级数之研究的一部分。

儒勒·昂利·庞加莱于1895年发表论文《相位分析》（Analysis Situs）^[5]，引进同伦与同调的概念，这些概念现在被认为是代数拓扑的一部分。

统合格奥尔格·康托尔、维多·沃尔泰拉、西萨尔·阿尔泽拉、雅克·阿达马与朱利奥·阿斯科利等人对函数空间的成果，莫里斯·弗雷歇于1906年引入度量空间的概念^[6]。度量空间现在被认为是一般拓扑空间的特例。于1914年，费利克斯·豪斯多夫提出“拓扑空间”一词，并给出现代称之豪斯多夫空间的定义。今日的拓扑空间之定义为豪斯多夫空间稍微的推广，由卡齐米日·库拉托夫斯基于1922年所给出^[7]。^{[注 2]}

中国第一本拓扑学书籍，是江泽涵由德语著作翻译，书名译为《拓撲學》，于1947年出版。^[8]按江泽涵所述，他不是创造“拓扑学”名词的人，在1939年他在西南联大授课时，用的名词是“形势几何学”，后来姜立夫提议，因为“想找出一个合适名词来刻划这门学科是没有可能的”，于是仿照“几何学”音译geometry的办法，使用音译的“拓扑学”。首先创造译名者，可能是姜立夫，也可能是陈省身。陈省身在《学算六十年》回忆文章中说：“姜[立夫]先生1946年去美，创所工作便落在我的身上。我着重于“训练新人”。最初一批研究人员，大多是大学新毕业的学生。我每周讲12小时的课，授“拓扑学”（拓扑译名即是那时起的）。”^[9]

拓扑学可定义为“对特定对象（称为拓扑空间）在特定变换（称为连续映射）下不变之性质的研究，尤其是那些在特定可逆变换（称为同胚）下不变之性质。”

拓扑被用来指附加于一集合 ${\displaystyle X}$  上的结构，该结构基本上会将集合 ${\displaystyle X}$  描绘成一拓扑空间，使之能处理在变换下的收敛性、连通性与连续性等性质。

拓扑空间几乎会自然地出现在数学的每个分支里。这使得拓扑学成为数学中的重要统合概念之一。

激励拓扑学里的洞见来自于一些不依靠对象实际形状，而是其组织方式的几何问题。例如，正方形与圆形有许多共通之性质：两者在拓扑学看来均为一维对象，且都能将平面分成外部及内部两个部分。

在拓扑学的第一篇论文中，李昂哈德·欧拉证明，不可能找到一条通过柯尼斯堡（现为加里宁格勒）的路，且七座桥都恰只通过一次。此一结论不依靠桥的长度，以及其之间的距离，而只与其连通性质有关：哪座桥会连接哪两座岛与河岸。这个问题被称为柯尼斯堡七桥问题，且导致了图论的发展。

同样地，代数拓扑上的毛球定理表示，“没有人能抚平毛球上的毛，而没有翘起的毛。”这个事实能立即让大多数人信服，尽管他们可能不知道该定理更形式化的陈述，即球体上不存在非零连续切向量场。如同“柯尼斯堡七桥问题”一般，此一结论亦不依靠球体的形状，而可适用于任何一类光滑表面，只要表面上没有洞。

为了处理这些不依靠对象实际形状的问题，必须清楚知道这些问题只依靠着何种性质。这产生出了同胚的概念。不可能只穿越每座桥一次能适用于其排列同胚于那些在柯尼斯堡里七座桥之桥梁；而毛球定理也适用于任何与球体同胚之形状。

直观上来看，两个空间同胚，若其中一个空间可不须切开或黏合即可变形成另一个空间。一个古老的笑话为，拓扑学无法分辨咖啡杯与甜甜圈，因为足够柔软的甜甜圈可被凹成一个杯底，中间的洞则可缩成一个手柄。

同胚可以被认为是最基本的“拓扑等价”。另一种为同伦等价。很难不使用到专业术语来描述同伦，但其中一个重要的概念为，两个对象为同伦等价，若两者都可由某个较大的对象“压扁”而成。

拓扑学入门时一个简单的练习题为，将大写的英文字母以同胚等价及同伦等价分类。其结果部分会取决于所用的字体，这里则使用无衬线Myriad字体。同伦是个较同胚来得粗糙的关系；一个同伦等价类能包含多个同胚类。例如，${\displaystyle O}$  有一个洞，${\displaystyle P}$  有一个洞及一个尾巴，两者不同胚；但因为 ${\displaystyle P}$  的尾巴可被压扁成“洞”的一部分，所以 ${\displaystyle O}$  与 ${\displaystyle P}$  同伦。

上述的同胚类包括：

• 没有洞、
• 没有洞及有三个尾巴、
• 没有洞及有四个尾巴、
• 有一个洞及没有尾巴、
• 有一个洞及一个尾巴、
• 有一个洞及两个尾巴、
• 有两个洞及没有尾巴、
• 有一横杠及四个尾巴^{[注 3]}

同伦类则较大，因为尾巴可以被压扁到一点，分别为：

• 一个洞、
• 两个洞、
• 没有洞。

为了正确分类字母，必须证明两个在同一类里的字母等价，且两个在不同类里的字母不等价。在同胚的情形下，可以透过选择移除的点来看字母是否会被拆成不同的部分。例如，${\displaystyle X}$  与 ${\displaystyle Y}$  不同胚，因为移除 ${\displaystyle X}$  的中心部分会拆成 4 个部分；而移除 ${\displaystyle Y}$  相应之部分后，则会拆成 3 个部分。同伦等价的情形则较为困难，需要一个用来表示代数不同量^{[注 4]}的更精细之参数，这个参数在不同的类别里会不同。

字母拓扑在模版印刷里是有其实际意义的。^{[注 5]}

集合上的拓扑

非正式地说，“拓扑”是指一个集合里的元素之间空间上的关连。相同的集合可以有不同的拓扑。例如，实数线、复平面及康托尔集可被视为具有不同拓扑的相同集合。

形式上来看，令 ${\displaystyle X}$  为一集合，且 ${\displaystyle \tau }$  为 ${\displaystyle X}$  的子集族；则 ${\displaystyle \tau }$  称之为“${\displaystyle X}$  上的拓扑”，若：

1. 空集合与 ${\displaystyle X}$  均为 ${\displaystyle \tau }$  的元素
2. ${\displaystyle \tau }$  内元素间的任何并集均为 ${\displaystyle \tau }$  的元素
3. ${\displaystyle \tau }$  内有限多个元素间的任何交集均为 ${\displaystyle \tau }$  的元素

若 ${\displaystyle \tau }$  为 ${\displaystyle X}$  上的拓扑，则二元对 (${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \tau }$ ) 称之为“拓扑空间”。符号 ${\displaystyle X_{\tau }}$  可用来标记具有特定拓扑 ${\displaystyle \tau }$  的集合 ${\displaystyle X}$ 。

${\displaystyle \tau }$  的元素被称为 ${\displaystyle X}$  内的开集合。${\displaystyle X}$  的子集被称为闭集合，若其补集为 ${\displaystyle \tau }$  内的元素^{[注 6]}。${\displaystyle X}$  的子集可能是开集合、闭集合、两者都是（闭开集），或两者都不是。空集合及 ${\displaystyle X}$  自身永远都同时是开集合与闭集合。一个包含点 ${\displaystyle x}$  的开集合称之为 ${\displaystyle x}$  的“邻域”。

一个具拓扑的集合称之为拓扑空间。

连续函数与同胚

拓扑空间之间的函数被称为“连续”的，若任一开集合的原像均为开集合。若函数将实数映射至实数^{[注 7]}，则其连续之定义等价于微积分内对连续之定义。若一连续函数为一对一且满射，且若其反函数亦为连续，则该函数称之为同胚，且该函数的定义域被称为同胚于其值域。^{[注 8]}

流形

因为拓扑空间极为多变且奇特，许多拓扑学的领域会专注于被称为流形的更为熟悉之空间。“流形”是一个拓扑空间，在每一点附近都类似欧氏空间。更确切地说，每个 ${\displaystyle n}$  维流形上的点均有个与 ${\displaystyle n}$  维欧氏空间同胚之邻域。线与圆是一维流形，而双扭线不是。二维流形亦称之为曲面。^{[注 9]}

一般拓扑学

一般拓扑学是拓扑学的分支，处理用于拓扑学的基本集合论定义与建构^[10]。一般拓扑学是拓扑学内大多数分支的基础，包括微分拓扑学、几何拓扑学与代数拓扑学。一般拓扑学又称为点集拓扑学。

点集拓扑学的基本概念为“连续性”、“紧致性”与“连通性”。直观来看，连续函数将邻近的点映射至邻近的点上。紧致集合为可被有限多个任意小之集合覆盖之集合。连通集合为不能被分成两个拆开之部分的集合。“邻近”、“任意小”与“拆开”等词都可以透过使用开集合来精确定义。若改变了开集合的定义，连续函数、紧致集合与连通集合的定义亦会改变。每个对“开集合”定义之选择均是一个“拓扑”。具拓扑之集合称之为“拓扑空间”。

“度量空间”是个可为距离指配一个被称为“度量”之数值的一类拓扑空间。拥有度量能简化许多证明，而许多常见的拓扑空间也都是度量空间。

代数拓扑学

代数拓扑学为数学的一个分支，使用抽象代数里的工具来研究拓扑空间^[11]。其基本目标为寻找代数不变量，以分类同胚意义下的拓扑空间，但最常分类的是同伦等价下的拓扑空间。

其中最重要的不变量有同伦群、同调与上同调。

虽然代数拓扑学主要是使用代数来研究拓扑问题，但使用拓扑学来解决代数问题，有时也是有可能的。例如，代数拓扑数能轻易地证明自由群的任一个子群仍是个自由群。

微分拓扑学

微分拓扑学是一门学科，研究在微分流形上的可微函数^[12]，与微分几何密切相关，并一齐组成微分流形的几何理论。

更具体来说，微分拓扑考虑只依靠定义在流形上之光滑结构的性质与结构。可在光滑流形上附加额外的几何结构，以用来阻碍存在于微分拓扑中的某几类等价与形变。例如，体积与黎曼曲率是可区分相同光滑流形上的不同几何结构之不变量；亦即，虽然可光滑地“摊平”某些流形，但可能需要扭曲空间，并影响其曲率或体积。

几何拓扑学

几何拓扑学是拓扑学的一个分支，主要侧重于低维^{[注 10]}流形及其与几何之互动的研究，但亦包括部分较高维拓扑^[13][14]。几何拓扑学的研究主题包括可定向性、柄分解、局部平坦与平面及高维商弗力士定理。

在高维拓扑里，特征类是个基本的不变量，割补理论是其重要理论。

低维拓扑具有强烈几何含意，体现在二维的单值化定理里，这个曲面都有一个常数曲率的度量；几何上来说，每个曲面都会是下面 3 种几何的其中一种：正曲率/球面、零曲率/平面、负曲率/双曲面。三维的几何化猜想^{[注 11]}表示，每个三维流形都可被分解成数个质流形，而每个质流形都会是八种几何的其中一种。

二维拓扑可被视为具单一变量的复几何^{[注 12]}来研究。透过单值化定理，每类共形的度量都会等价于一个唯一的复流形。而四维拓扑则可被视为具有二个变量的复几何（复曲面）来研究，虽然不是每个四维流形都能有一个复结构。

推广

有时需要用到拓扑学里的工具时，不一定存在“点的集合”。在无点拓扑学里，考虑改以开集合的格来作为该理论的基本概念^[15]；而格罗滕迪克拓扑则是个定义在任意范畴上的结构，允许在这些范畴上定义出层，以及一般上同调理论的定义^[16]。

生物学

纽结理论是拓扑学的一个分支，用于生物学中，以研究DNA内特定酶的影响。这些酶会切断、扭曲且重新连接 DNA，形成电泳速率较慢的可观察结果^[17]。拓扑学也被用于演化生物学里，以表示表现型与基因型间的关系^[18]。基因型的改变对表现型的改变之影响方式，可决定是否只需少数的突变，即可呈现出极为不同的表现型来。

计算机科学

拓扑数据分析使用代数拓扑学里的技术，以确认一个集合的大尺度结构^{[注 13]}。拓扑数据分析使用的主要方法为：

1. 将一组数据线以单纯复形替代，并以邻近参数索引。
2. 使用代数拓扑学^{[注 14]}分析这些拓扑复形^[19]。
3. 以参数形式的贝蒂数编码一组数据的持续同调，称之为“条码”^[19]。

物理学

在物理学里，拓扑学被用于量子场论及宇宙论等领域。

拓扑量子场论（或称拓扑场论）是一个用来计算拓扑不变量的量子场论。

虽然拓扑量子场论是由物理学家所发明，但亦与数学相关，与代数拓扑学里的纽结理论及四维流形之理论，以及代数几何里的模空间之理论等，均有关连。唐纳森、琼斯、维腾与孔采维奇等菲尔兹奖得主，其工作均与拓扑场论有关。

在宇宙论里，拓扑学可用来描述宇宙的整体形状^[20]。这个领域被称为时空拓扑学^[21]。

机器人

机器人的各种可能姿势可透过被称为位形空间的流形来描述^[22]。在运动规划里，会找出在位形空间内两个点间的路径。这些路径表示机器人关节等部分移至所需位置与姿势的运动^[23]。

输电网络

拓扑在输电网络中，指网络建构与运行的路径，其根据系统可靠度的要求、负载和发电特性而有所不同。一般输电网络的拓扑可分为树状与网状两种结构。输电与配电网络最简单的拓扑是树状结构，由中央调控的高电压、大电流电力，借由变电站逐步降低电压、电流，分配至各树状分支线路中，直到到达目标家庭用户和企业用户为止。但是，单个节点故障可能会导致节点以下分支网络的失效。网状结构可以提供更高的可靠度，但是其运作与管理相对复杂^[24]。

• 点集拓扑学
• 代数拓扑学主题列表（英语：List of algebraic topology topics）
• 一般拓扑学例子列表（英语：List of examples in general topology）
• 一般拓扑学主题列表（英语：List of general topology topics）
• 几何拓扑学主题列表（英语：List of geometric topology topics）
• 拓扑学主题列表（英语：List of topology topics）

• Ryszard Engelking. General Topology. Sigma Series in Pure Mathematics. Heldermann Verlag. 1989年12月. ISBN 3-88538-006-4. 
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• Wacław Sierpiński. General Topology. Dover Publications. 2000. ISBN 0-486-41148-6. 
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• Elementary Topology: A First Course （页面存档备份，存于互联网档案馆） Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• 开放式目录计划中和拓扑学相关的内容
• The Topological Zoo （页面存档备份，存于互联网档案馆） at The Geometry Center.
• Topology Atlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
• Topology Glossary
• Moscow 1935: Topology moving towards America （页面存档备份，存于互联网档案馆）, a historical essay by Hassler Whitney.