塞弗特－范坎彭定理

设${\displaystyle X}$ 为拓扑空间，有两个开且路径连通的子空间${\displaystyle U_{1},U_{2}}$ 覆盖${\displaystyle X}$ ，即${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$ ，并且${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ 是非空且路径连通。取${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ 中的一点${\displaystyle x_{0}}$ 为各空间的基本群的基点。那么从${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ 到${\displaystyle U_{1}}$ 及${\displaystyle U_{2}}$ 的包含映射导出相应基本群的群同态：（以下省略基本群中的基点。）

${\displaystyle \phi _{1}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{1})}$ 

${\displaystyle \phi _{2}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{2})}$ 

塞弗特－范坎彭定理指出${\displaystyle X}$ 的基本群，是${\displaystyle U_{1},U_{2}}$ 的基本群的共合积：

${\displaystyle \pi _{1}(X)=\pi _{1}(U_{1})*_{\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\pi _{1}(U_{2})}$ 

用范畴论来说，${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 是在群范畴中图表

${\displaystyle \pi _{1}(U_{1})\leftarrow {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\rightarrow \pi _{1}(U_{2})}$ 

的推出。

这定理可以推广至${\displaystyle X}$ 的任意多个开子空间的覆盖： 设

• ${\displaystyle X}$ 为路径连通拓扑空间，${\displaystyle x_{0}}$ 为${\displaystyle X}$ 的一点，
• ${\displaystyle \{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ 由路径连通的开集组成，为${\displaystyle X}$ 的开覆盖，
• 任何一个${\displaystyle U_{\lambda }}$ 都有点${\displaystyle x_{0}}$ ，
• 对任何${\displaystyle \lambda ,\mu \in \Lambda }$ ，都有${\displaystyle \nu \in \Lambda }$ ，使得${\displaystyle U_{\lambda }\cap U_{\mu }=U_{\nu }}$ 。

当${\displaystyle U_{\lambda }\subset U_{\mu }}$ ，令

${\displaystyle \phi _{\lambda \mu }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(U_{\mu })}$ 

为由包含所导出的群同态。又令

${\displaystyle \psi _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(X)}$ 

为由${\displaystyle U_{\lambda }\subset X}$ 所导出的群同态。那么${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 有下述的泛性质：

设${\displaystyle H}$ 为群，对所有${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ 有群同态${\displaystyle \rho _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to H}$ ，使得若${\displaystyle U_{\lambda }\subset U_{\mu }}$ ，则

${\displaystyle \rho _{\mu }\circ \phi _{\lambda \mu }=\rho _{\lambda }}$ 。

那么存在唯一的群同态${\displaystyle \sigma :\pi _{1}(X)\to H}$ ，使得对所有${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ ，都有

${\displaystyle \rho _{\lambda }=\sigma \circ \psi _{\lambda }}$ 。

这个泛性质决定唯一的${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 。（不别群同构之异。）

• Massey, William. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 127. Springer-Verlag. 1991.