群

群 ${\displaystyle (G,\ \cdot )}$  是由集合 ${\displaystyle G}$  和二元运算 ${\displaystyle \cdot }$  构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何两个元素 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle b}$  而形成另一个元素，记为 ${\displaystyle a\cdot b}$ ，符号 ${\displaystyle \cdot }$  是具体的运算，比如整数加法。

群公理所述的四个性质为：^[3]

1.	封闭性：	对于所有 ${\displaystyle G}$  中 ${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$  ，运算 ${\displaystyle a\cdot b}$  的结果也在 ${\displaystyle G}$  中。[b]
2.	结合律：	对于所有 ${\displaystyle G}$  中的 ${\displaystyle a}$ ， ${\displaystyle b}$  和 ${\displaystyle c}$  ，等式 ${\textstyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$  成立。
3.	单位元：	存在 ${\displaystyle G}$  中的一个元素 ${\displaystyle e}$  ，使得对于所有 ${\displaystyle G}$  中的元素 ${\displaystyle a}$  ，总有等式 ${\textstyle e\cdot a=a\cdot e=a}$  成立。
4.	逆元：	对于每个 ${\displaystyle G}$  中的 ${\displaystyle a}$ ，存在 ${\displaystyle G}$  中的一个元素 ${\displaystyle b}$  使得总有 ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$  ，则称 ${\displaystyle b}$  为 ${\displaystyle a}$  在 ${\displaystyle G}$  中的逆元，此处 ${\displaystyle e}$  为单位元。

证明封闭性：对任何在 G 内的 a 、 b ， a*b 也会在 G 内。 但这不是必要的，因为在二元运算中即内含了此一公理。

群运算的次序很重要，把元素 ${\displaystyle a}$  与元素 ${\displaystyle b}$  结合，所得到的结果不一定与把元素 ${\displaystyle b}$  与元素 ${\displaystyle a}$  结合相同；亦即，${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ （交换律）不一定恒成立。满足交换律的群称为交换群（阿贝尔群，以尼尔斯·阿贝尔命名），不满足交换律的群称为非交换群（非阿贝尔群）。

整数加法群中，对于任何两个整数都有${\displaystyle a+b=b+a}$ （加法的交换律）成立，因此，整数加法群是交换群。但是对称群中交换律并不总是成立，所以一般的对称群不是交换群。

群 ${\displaystyle G}$  的单位元经常记做 ${\displaystyle 1}$  或 ${\displaystyle 1_{G}}$  ，这个记号来自乘法单位元。对于阿贝尔群，可以把群运算记做 ${\displaystyle +}$  ，单位元记做 ${\displaystyle 0}$  ；这种情况下群称为加法群。单位元也可记做${\displaystyle id}$ 。

群 ${\displaystyle (G,\cdot )}$  也常常简记为 ${\displaystyle G}$  。可以根据上下文来判断一个符号指的是集合还是群。

例一：循环群

设${\displaystyle (G,*)}$ 为一个群，若${\displaystyle G}$ 里面存在元素${\displaystyle g}$ ，使得${\displaystyle G=<g>=\{g^{k}|k\in \mathbb {Z} \}}$ ，则称G关于运算"*"为一个循环群。

例二：整数加法群

最常见的群之一是整数集${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 和整数的加法所构成的群。它由以下数列组成：

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...^[4]

下面将整数的加法的性质与四个群公理做对比，可以看出，整数集和整数的加法是可以构成群的。

1. 对于任何两个整数a和b，它们的和a + b也是整数。换句话说，在任何时候，把两个整数相加都能得出整数的结果。这个性质叫做在加法下封闭。
2. 对于任何整数a, b和c，(a + b) + c = a +（b + c）。用话语来表达，先把a加到b，然后把它们的和加到c，所得到的结果与把a加到b与c的和是相等的。这个性质叫做结合律。
3. 如果a是任何整数，那么0 + a = a + 0 = a。零叫做加法的单位元，因为把它加到任何整数都得到相同的整数。
4. 对于任何整数a，存在另一个整数b使得a + b = b + a = 0。整数b叫做整数a的逆元，记为−a。

例三：对称群

正方形的对称操作（比如旋转和反射）形成了一个群，叫做二面体群，并记为D₄。^[5]二面体群中有下列8个对称：

• 恒等运算保持所有东西不变，记为${\displaystyle id}$ ；
• 把正方形向右（顺时针）旋转90°、180°和270°，分别记为${\displaystyle r_{1}}$ ，${\displaystyle r_{2}}$ 和${\displaystyle r_{3}}$ 。
• 关于垂直和水平中线的反射记为${\displaystyle f_{v}}$ 和${\displaystyle f_{h}}$ ，关于两个对角线的反射记为${\displaystyle f_{d}}$ 和${\displaystyle f_{c}}$ 。

任何两个对称${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 都可以复合，即进行一个之后再进行另一个。先进行${\displaystyle a}$ 然后进行${\displaystyle b}$ 在符号上“从右到左”写为

b·a（“进行对称操作a之后再进行对称操作b”。从右到左的记号来源于函数复合）。

右面的群表列出了这种复合的所有可能结果。例如，右旋270°(${\displaystyle r_{3}}$ )然后水平翻转（${\displaystyle f_{h}}$ ），等于进行一个沿对角线的反射（${\displaystyle f_{d}}$ ），如群表中蓝色突出的单元格所示。使用上述符号可以记为：

${\displaystyle f_{3}\cdot r_{3}=f_{d}}$ 

给定这个对称的集合和描述的运算，群公理可以理解如下：

• 闭合公理要求任何两个对称a和b的复合

b·a 仍是对称。另一个群运算的例子是

r₃·f_h = f_c 就是说在水平翻转后右旋270°等于沿反对角线翻转（f_c）。确实，两个对称的所有其他组合仍得出一个对称，这可以使用群表来检查。

• 结合律的限制处理多于两个对称的复合：给定D₄的三个元素a、b和c，有两种方式计算“a接着b接着c”。

(a·b)·c = a· (b·c) 的要求，意味着三个元素的复合与先进行哪个运算是无关的。 例如， (f_d·f_v)·r₂ = f_d· (f_v·r₂) 可以使用右侧的群表来检查

(fd·fv)·r2	=	r3·r2	=	r1它等于
fd· (fv·r2)	=	fd·fh	=	r1

• 单位元是保持所有东西不变的对称id：对于任何对称a，进行a然后进行id（或进行id然后进行a）等于a，用符号表示为

id·a = a

a·id = a

• 逆元素撤销某个其他元素的变换。所有对称都是可以撤销的：恒等id，翻转f_h、f_v、f_d、f_c和180°旋转r₂这些变换都是自身的逆元，因为把它们进行两次就把正方形变回了最初的样子。旋转r₃和r₁相互是逆元，因为按一个方向旋转再按另一个方向旋转相同角度保持正方形不变。用符号表示为

f_h·f_h = id

r₃·r₁ = r₁·r₃ = id

与上述的整数群不同的是，在整数群中运算次序是无关紧要的，而在D₄中则是重要的： f_h·r₁ = f_c然而 r₁·f_h = f_d。换句话说，D₄不是阿贝尔群，这使得这个群的结构比上面介绍的整数群要更加复杂。

抽象群的现代概念是从多个数学领域发展出来的。^[6][7][8]群论的最初动机是为了求解高于4次的多项式方程。十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，扩展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依据特定多项式方程的根（解）的对称群给出了对它的可解性的判别准则。这个伽罗瓦群的元素对应于根的特定排列。伽罗瓦的想法最初被同代人所拒绝，只在死后才出版。^[9][10]更一般的置换群由奥古斯丁·路易·柯西专门研究。阿瑟·凯莱的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1》（1854年）给出有限群的第一个抽象定义。^[11]

几何是第二个系统性的使用群，特别是对称群的领域。这类群是菲利克斯·克莱因1872年的爱尔兰根纲领的一部分。^[12]在新型的几何如双曲几何和射影几何形成之后，克莱因利用群论以更连贯的方式来组织它们。索菲斯·李进一步发展了这些想法，在1884年创立了李群的研究。^[13]

对群论有贡献的第三个领域是数论。一些阿贝尔群结构在卡尔·弗里德里希·高斯的数论著作《算术研究》（1798年）中被隐含地用到，并被利奥波德·克罗内克更明显地用到。^[14] 1847年，恩斯特·库默尔发展了描述用素数做约数分解的理想类群，使证明费马大定理的早期尝试达到了高潮。^[15]

把上述各种来源融合成一个群的统一理论是从卡米尔·若尔当的《Traité des substitutions et des équations algébriques》（1870年）开始的。^[16] 瓦尔特·冯·迪克（1882年）给出了第一个抽象群的现代定义的陈述。^[17]在二十世纪，群在费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和威廉·伯恩赛德的开拓性著作中获得了广泛的认识，他们研究有限群的表示理论，还有理查德·布劳尔的模表示论和Issai Schur的论文。^[18] 赫尔曼·韦伊、埃利·嘉当和很多其他人推进了李群和更一般的局部紧群的理论。^[19]它的代数对应者——代数群的理论，由克劳德·舍瓦莱（从1930年代晚期开始）和后来阿尔曼德·波莱尔和雅克·蒂茨的重要著作奠基。^[20]

芝加哥大学于1960-61年举办的“群论年”活动促使群论家们以丹尼尔·格伦斯坦，约翰·格里格斯·汤普森和瓦尔特·法伊特为基础展开合作。在大量其他数学家的帮助下，他们完成了有限单群的分类。这项工程，不论是从证明长度来说还是从参与人数来说，其浩大程度超越了之前一切的数学成果。简化此证明的研究还在进行中。^[21]群论在当下仍是一个活跃的数学分支，并仍在对其他分支产生重大影响。^[a]

可以从群公理直接获得的关于所有群的基本事实，通常包含在初等群论中。^[22]例如，重复应用结合律公理，可以证明以下等式

a·b·c = (a·b)·c = a·（b·c）

可以推广到多于三个因子。因为这意味着括号可以插入到一序列的项的任何地方，所以通常省略括号。^[23]

公理可以弱化为只宣称左单位元和左逆元的存在性。二者可以被证明实际上是双侧的，所以得出的定义与上面给出的等价。^[24]

单位元和逆元的唯一性

群公理的两个重要结果是单位元和逆元的唯一性。在群中只能有一个单位元，而群中的每个元素都正好有一个逆元素。^[25]

要证明a的逆元素的唯一性，假设a有两个逆元，记为l和r。则

l	=	l·e		由于e是单位元
	=	l· (a·r)		因为r是a的逆元，所以e = a·r
	=	(l·a)·r		根据结合律，它允许重新安排括号
	=	e·r		由于l是a的逆元，就是说l·a = e
	=	r		由于e是单位元

因此l和r被一系列等式连接了起来，所以它们是相等的。换句话说a只有一个逆元。

除法

在群中，可以进行除法：给定群G的元素a和b，G中存在方程 x·a = b 的唯一解x。^[25]实际上，把方程右乘以a⁻¹给出解 x = x·a·a⁻¹ = b·a⁻¹。类似地，G中存在方程 a·y = b 的唯一解y，也就是 y = a⁻¹·b 。一般地说，x和y不一定相等。

这一结果的一个推论是“乘以某个群中的元素g”是一个双射。特别地，如果g是群G的一个元素，则有G到自身的双射，（称为由g引起的左平移）它将${\displaystyle h\in G}$ 映射为${\displaystyle g\cdot h}$ 。类似地，由g引起的右平移是一个G到自身的双射，它将${\displaystyle h\in G}$ 映射为${\displaystyle h\cdot g}$ 。如果G是阿贝尔群，由同一个元素引起的左平移和右平移是相同的。

下列章节使用了数学符号如X = { x, y, z }来表示集合X包含元素x、y和z，或${\displaystyle x\in X}$ 来表示x是X的一个元素。记法${\displaystyle f:X\to Y}$ 意味着f是对X的所有元素指定Y的一个元素的函数。

要超越上述纯粹符号操作水平去理解群，必须采用更加结构性的概念。^[c]有一个概念性原理位于所有下列概念的底层：要发挥群提供的结构（而无结构的集合就没有）的优势，与群有关的构造必须与群运算兼容。下列概念中以各种方式表现了这种兼容性。例如，群可以通过叫做群同态的函数相互关联。根据上述这个原理，要求它们以精确的意义照顾到群结构。群的结构还可以通过把它们分解成子群和商群来理解。“保持结构”的原理是在数学中反复出现的一个主题，它是靠范畴来工作的一个实例，在这里的情况下靠群范畴。^[26]

群同态

群同态^[g]是保持群结构的函数。两个群之间的函数 a: G → H 是同态，如果等式

a(g·k) = a(g)·a(k) 对于所有G中的元素g、k都成立，就是说在进行映射a之后还是之前进行群运算所得到的结果是一样的。这个要求保证了 a(e_G) = e_H，以及对于G中的所有g，都有 a(g)⁻¹ = a(g⁻¹) 。因此群同态保持了群公理提供的G的所有结构。^[27]

两个群G和H被称为同构的，如果存在群同态 a: G → H 和 b: H → G ，使得先后（以两种可能的次序中每个次序）应用两个函数分别等于G和H的恒等函数。就是说，对于任何G中的g和H中h，有 a(b(h)) = h 和 b(a(g)) = g 。从抽象的观点来看，同构的群携带了相同的信息。例如，证明对于G的某个元素g有 g·g = e_G，等价于证明 a(g)·a(g) = e_H，因为应用a于第一个等式得到第二个，而应用b于第二个得到第一个。

子群

非正式的说，子群是包含在更大的群G内的一个群H。^[28]具体的说，G的单位元包含在H中，并且只要h₁和h₂在H中，则h₁· h₂和h₁⁻¹也在其中，所以H的元素对于限制于H的G上的群运算确实形成了一个群。

在上面例子中，单位元和旋转构成了一个子群 R = {id, r₁, r₂, r₃} ，在上面的群表中突出为红色：任何两个复合的旋转仍是一个旋转，并且旋转可以被相反方向上的旋转（它的逆元）所抵消。子群检验法是群G的子集H是子群的充分必要条件：对于所有元素 g, h ∈ H ，只需检查g⁻¹h ∈ H。了解子群族对于作为一个整体来理解群是重要的。^[d]

给定群G的任何子集S，由S所生成的子群是由S的元素和它们的逆元的乘积组成。它是包含S的G的最小子群。^[29]在上面介绍例子中，r₂和f_v所生成的子群由这两个元素本身、单位元id和 f_h = f_v·r₂构成。这还是个群，因为结合这四个元素或它们的逆元（在这个特殊情况下，是这些相同的元素）中任何两个仍得到这个子群中的元素。

陪集

在很多情况下，需要认为两个群元素是等同的，如果它们只差一个给定子群中的元素。例如，在上述D₄中，一旦进行了翻转，只进行旋转运算（不再进行翻转）正方形就永远不能回到r₂的构型，就是说旋转运算对于是否已经进行了翻转的问题是无关紧要的。陪集可用来把这种现象形式化：子群H定义了左陪集和右陪集，它们可以认为是把H平移了一个任意群元素g。用符号表示，H的包含g的左和右陪集分别是

gH = {gh, ${\displaystyle h\in H}$ }和Hg = {hg, ${\displaystyle h\in H}$ }。^[30]

任何子群H的陪集形成了G的一个划分；就是说所有左陪集的并集与G相等，而且两个陪集要么相等，要么有空的交集。^[31]第一种情况 g₁H = g₂H 出现当且仅当g₁⁻¹g₂ ∈ H，就是说如果这两个元素差异了H的一个元素。类似的考虑也适用于H的右陪集。H的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它们相等，就是说对于所有G中的g有gH = Hg，则H被称为正规子群。

在前面介绍的对称群D₄中，由旋转构成的子群R的左陪集gR要么等于R，如果g是R自身的一个元素；要么等于 U = f_vR = {f_v, f_d, f_h, f_c} （用绿色突出）。子群R还是正规的，因为 f_vR = U = Rf_v且对于任何f_v以外的元素也是类似的。

商群

有时在由陪集形成的集合上可以赋予一个满足群公理的运算而使之成为商群或因子群。这仅在子群是正规的时候才可行。给定任何正规子群N，商群定义为

G / N = {gN, ${\displaystyle g\in G}$ }，“${\displaystyle G}$  模 ${\displaystyle N}$ ”^[32]

这个集合从最初的群G 继承了一个群运算（有时叫做陪集乘法或陪集加法）：对于所有G 中的g 和h， (gN)· (hN) =（gh）N 。这个定义是由关联任何元素g到它的陪集 gN 的映射G → G / N是群同态的想法（自身是上面提出的一般结构性考虑的一个实例）所激发的，或者是叫做泛性质的一般抽象考虑。陪集 eN = N 充当了这个群的单位元，在商群中gN 的逆元是 (gN)⁻¹ =（g⁻¹）N。 ^[e]

商群D₄ / R的元素是代表单位元的R 自身和 U = f_vR 。商群上的群运算如右侧所示。例如， U·U = f_vR·f_vR =（f_v·f_v）R = R 。子群 R = {id, r₁, r₂, r₃} 和对应的商群都是阿贝尔群，而D₄不是阿贝尔群。通过较小的群构造较大的群，例如从子群R 和商群D₄ / R构造D₄，被抽象为叫做半直积的概念。

商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一种方法：任何群都是这个群的生成元上的自由群模以“关系”子群得到的商群。例如，二面体群D₄可以由两个元素 r 和 f 生成（比如r = r₁右旋，和 f = f_v 垂直）或任何其他）翻转），这意味着正方形的所有对称都是这两个对称或它们的逆元的有限复合。与关系在一起

r ⁴ = f ² = (rf )² = 1,^[33]

这个群就完全描述出来了。群的展示还可以被用来构造凯莱图，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。

子群和商群以下列方式相互关联：G 的子集H 可以被看作单射H → G，就是说任何目标元素都有最多一个映射到它的元素。单射的对立是满射（所有目标的元素都被映射到了），比如规范映射G → G / N。^[y]通过这些同态理解子群和商群强调了这些定义中内在的结构性概念。一般的说，同态既不是单射也不是满射。群同态的核与像和第一同构定理研究这个现象。

共轭

如果同一个群中的两个元素p 和q 满足关系：p = x⁻¹qx，其中x 也是同一个群中的元素，则称元素p 和q 共轭。共轭关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共轭是自反的、对称的和传递的。

在群中可以找到一个集合，这个集合中每一个元素都相互共轭，而在这个集合以外群的其他部分已经没有任何元素与他们具有共轭关系了。称这种集合为群中的一个共轭类。同一个群的两个类之间一定没有共同的元素。群中一个元素一定属于且仅属于一个类。如果群中没有元素与该元素共轭，则该元素自成一类。

阶

群中元素个数称为群G的阶，记为|G|^[34]

子群的阶能整除这个群的阶^[35]

群的例子和应用大量存在。起点是上面介绍过的整数的群 Z 带有加法作为群运算。如果把加法替代为乘法，就得到了乘法群。这些群是抽象代数中重要概念的前身。

群应用于很多数学领域中。数学对象的性质经常是通过将群关联与数学对象关联，并研究相应的群的性质来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通过引入基本群创立了现在所谓的代数拓扑。^[36]通过这种连接方式，拓扑性质比如临近和连续变换成了群的性质。^[i]例如，右侧的图像描绘了平面减去一个点的基本群的元素。这个群的元素给出为在这个区域内的环路。蓝色环路被认为是零同伦（因此是无关紧要的），因为它可以收缩为一个点。圆孔的存在防止了橙色环路被收缩。橙色环路（或任何环绕这个圆孔一次的其他环路）所生成的，去掉了一个点的平面的基本群是无限循环群。基本群以这种方式探测到了这个圆孔。

在更新近的应用中，影响已经被倒转过来，由群论背景来激发几何结构了。^[j]在类似的脉络下，几何群论采用了几何概念，比如在双曲群的研究中。^[37]其他一些大量应用群论的数学分支包括代数几何和数论。例如，典型群和Picard群在代数几何上有重要应用；参见^[38]

除了上述理论应用之外，还存在很多群的实践应用。密码学依赖于抽象群论方式和从计算群论中特别是实现于有限群上的时候所得到的算法知识的结合。^[39]群论的应用不限于数学；科学如物理、化学和计算机科学都受益于这个概念。

数

很多数系统，比如整数和有理数享有自然给予的群结构。在某些情况下比如对于有理数，加法和乘法运算二者都引发群结构。这种系统是叫做环和域的更一般的代数结构的前身。

整数

整数Z在加法下的群记为（Z, +），它在上面已经描述了。整数带有用乘法替代加法的运算，(Z, ·)不形成群。闭合、结合律和单位元公理满足，但逆元不存在：例如， a = 2 是整数，但方程 a·b = 1 的唯一解在这种情况下是b = 1/2，它是有理数而非整数。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。^[k]

有理数

对乘法逆元存在的要求建议了考虑分式

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 。

整数的分式（要求b非零）叫做有理数。^[l]所有这种分数的集合通常记为Q。对于有理数带有乘法(Q,·),成为群仍有一个小障碍：因为有理数0没有乘法逆元（就是说没有x使得 x·0 = 1 ），(Q, ·)仍然不是群。

但是，所有非零有理数的集合 Q\{0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} 形成一个在乘法下的阿贝尔群，记为(Q\{0},·)。^[m]结合律和单位元公理从整数的性质中得出。闭合要求在去掉零之后仍成立，因为任何两个非零有理数的乘积永远不是零。最后，a/b的逆元是b/a，所以逆元公理也满足。

有理数（包括0）在加法下也形成群。同时带有加法和乘法运算产生更复杂的结构叫做环—如果同时除法总是可能的话（如在Q中）就是域，它在抽象代数中占据中心位置。群论理论因此位于这些实体的理论的底层部分。^[n]

非零整数模以素数

对于任何素数p，模算术提供了整数模以p的乘法群。^[40]群的元素是不能被p整除的整数模p的同余类，就是说两个数被认为是等价的如果它们的差被p整除。例如，如果 p = 5 ，则精确地有四个群元素1, 2, 3, 4:排除了5的倍数而6和−4都等价于1。群运算给出为乘法。因此 4·4 = 1 ，因为通常意义下的乘积16等价于1,而5整除 16 − 1 = 15 。以上事实记为

16 ≡ 1（mod 5）。

p的首要作用是确保了两个都不被p整除的整数的乘积也不被p整除，因此指示的同馀类的集合在乘法下闭合。^[o]单位元如平常的乘法群一样是1，而结合律可以从整数的相应性质得出。最后，逆元公理要求给定不整除于p的整数a，存在一个整数b使得

a · b ≡ 1（mod p），就是说p整除a·b − 1的差。

逆元b可以使用裴蜀等式和最大公约数gcd(a, p)等于1的事实找到。^[41]在上述 p = 5 的情况下，4的逆元是4，3的逆元是2，因为 3·2 = 6 ≡ 1 (mod 5) 。所有的群公理都满足。实际上，这个例子类似于上述（Q\{0},·），因为它是在有限域F_p中非零元素的乘法群，记为F_p^×。^[42]这些群对于公开密钥加密是至关重要的。^[p]

循环群

循环群是其所有元素都是特定元素a的幂的群（在群运算被写为加法的时候使用术语倍数）。^[43]在乘法符号下，群的元素是：

..., a⁻³, a⁻², a⁻¹, a⁰ = e, a, a², a³, ...,

这里的a²意味着a·a，而a⁻³表示a⁻¹·a⁻¹·a⁻¹=(a·a·a)⁻¹等等。^[h]这个元素a叫做这个群的生成元或本原元。

这类群的典型例子是单位一的n次复数根，由满足 zⁿ = 1 的复数z给出，其运算为乘法。^[44]任何有n个元素的循环群同构于这个群。使用某些域论，群F_p^×可以被证明为是循环群：对于 p = 5, 3是生成元因为 3¹ = 3, 3² = 9 ≡ 4, 3³ ≡ 2, 而 3⁴ ≡ 1 。无限循环群同构于（Z, +），它是前面介绍的整数在加法下的群。^[45]因为这两个原型都是阿贝尔群，所以任何循环群都是。

阿贝尔群包括有限生成阿贝尔群的基本定理的研究是非常成熟的；对这个事态的反映是很多有关群论的概念，比如中心和交换子，描述了一个给定群不是阿贝尔群的程度。^[46]

对称群

对称群是由给定数学对象的对称组成的群，对称源于它们的几何本性（比如前面介绍的正方形的对称群）或源于代数本性（比如多项式方程和它们的解）。^[47]概念上说，群论可以被认为是对称性的研究。^[t] 数学中的对称性极大的简化了几何或分析对象的研究。群被称为作用于另一个数学对象X上，如果所有群元素进行某个在X上的运算兼容于群定律。在下面最右侧例子中，7阶的（2,3,7）三角群的一个元素通过排列突出的弯曲的三角形作用在镶嵌上（其他的元素也是）。通过群作用，群模式被连接到了所作用到的对象的结构上。

在化学领域中，比如晶体学、空间群和点群描述分子对称性和晶体对称性。这些对称性位于这些系统的化学和物理表现的底层，而群论使简化对这些性质的量子力学分析成为可能。^[48]例如，群论被用来证实在特定量子级别间不出现光学跃迁简单的因为涉及到了状态的对称性。

群不只对评定在分子中蕴含的对称性有用，而且令人惊奇的它们还可以预测出分子的对称性有时候可以改变。姜-泰勒效应是高对称的分子的变形，此时，在通过分子的对称运算相互关联的一组可能基态中，该分子将采纳一个特定的低对称的基态。^[49][50]

同样的，群论还可以帮助预测在物质经历相变的时候出现的物理性质的变更，比如晶体形式从立方体变为四面体。一个例子是铁电物质，这里从顺电到铁电状态的变更出现在居里温度时，与从高对称顺电状态到低对称铁电状态的变更有关，并伴随着所谓的软声子模式，它是在变化时转到零频率的振动晶格模式。^[51]

这种自发对称性破缺在基本粒子物理中找到了进一步应用，这里它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。

有限对称群比如马蒂厄群被用于编码理论中，它又用于传输数据的纠错和CD播放器中。^[52]另一个应用是微分伽罗瓦理论，它刻画有已知形式的不定积分的函数，给出何时特定微分方程的解有良好表现的群论判定标准。^[u]在群作用下保持稳定的几何性质在几何不变量理论中研究。^[53]

一般线性群和表示理论

矩阵群由矩阵加上矩阵乘法一起构成。一般线性群 GL(n, R) 由所有可逆的n乘n的带有实数元素的矩阵构成。^[54]它的子群被称为矩阵群或线性群。上面提及的二面体群例子可以被看作（非常小的）矩阵群。另一个重要矩阵群是特殊正交群SO(n)。它描述了n维的所有可能旋转。通过欧拉角，旋转矩阵被用于计算机图形学中。^[55]

表示理论是对群概念的应用并且对深入理解群是很重要的。^[56][57]它通过群作用于其他空间来研究群。一类广泛的群表示是线性表示，就是说群作用在线性空间中，比如三维欧几里得空间R³。G在n-维实向量空间上的表示简单的是从群到一般线性群的群同态

ρ: G → GL(n, R)。

以这种方式，抽象给出的群运算被变换成用明确的计算可触及到的矩阵乘法。^[w]

给定一个群作用，这给出了研究所作用的对象的进一步方法。^[x]在另一方面，它还产生了关于群的信息。群表示是在有限群、李群、代数群和拓扑群特别是（局部）紧群理论中的起组织作用的原则。^[56][58]

伽罗瓦群

伽罗瓦群是通过对求解多项式方程的过程中涉及到的对称性的研究而被发展起来的。^[59][60]例如，二次方程 ax² + bx + c = 0 的解给出为

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ 。

对换表达式中的"+"和"−"，也就是排列方程的两个解可以被看作（非常简单的）群运算。类似的公式对于三次方程和四次方程也有，但是对于五次方程和更高次的方程就不普遍性的存在。^[61]与多项式相关联的伽罗瓦群的抽象性质（特别是它们的可解性）给出了那些多项式的所有解都可用根式表达的判定标准，就是说这些解可以类似上面公式那样只使用加法、乘法和方根来表达。^[62]

这个问题可以使用域论来处理：考虑一个多项式的分裂域就把问题转移到了域论的领域中了。现代伽罗瓦理论把上述类型的伽罗瓦群推广到了域扩张，并通过伽罗瓦理论基本定理建立了在域和群之间的严格关联，再次凸显了群在数学中无所不在。

一个群被称为有限群，如果它有有限个元素。元素的数目叫做群G的阶。^[63]一类重要的有限群是n次对称群S_N，它是N个字母的排列的群。例如，在3个字母上的n次对称群S₃是由三个字母ABC的所有可能排列构成的群，就是说它包含元素ABC, ACB, ...,直到CBA，总共有6（或3的阶乘）个元素。这类群是基础性的，因为任何有限群都可以表达为n次对称群S_N在适合的整数N下的子群（凯莱定理）。相似于上述正方形的对称的群，S₃还可以解释为等边三角形的对称的群。

在群G中的一个元素a的阶是最小的使得aⁿ = e的正整数n，这里的 aⁿ表示${\displaystyle \underbrace {a\cdot \ldots \cdot a} _{n}}$ ，就是应用运算·于a的n个复本上。（如果·代表乘法则aⁿ对应于a的n次幂）。在无限群中，这个n可能不存在，在这种情况下a的阶被称为无限的。一个元素的阶等于这个元素生成的循环子群的阶。

更复杂的计数技术例如计数陪集，产生关于有限群的更精确陈述：拉格朗日定理声称有限群G的任何有限子群H的阶整除G的阶。西罗定理证明了它的部分逆命题。

上面讨论的二面体群是8阶有限群。r₁的阶为4，这是它生成的子群R（见上）的阶。反射元素f_v等的阶是2。如拉格朗日定理所述这两个阶都整除8。上面的群F_p^×有阶p − 1。

有限单群分类

数学家们常常为寻求一种数学对象的完备分类（或列表）而努力。在有限群的领域内，这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔）群Z_p。p²阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到p³阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群D₄所示，其中8 = 2³。^[64]可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。^[q]一个中间步骤是有限单群分类。^[r]如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。^[s]若尔当-赫尔德定理说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。^[65] 有限单群列表是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查·伯切德斯成功地证明了所谓怪兽-胡言乱语猜想。该猜想指出了最大有限简单散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析和弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。^[66]

很多群同时是群和其他数学结构的例子。用范畴论的语言来说，它们是在范畴中的群对象，这意味着它们是带着模仿群公理的（叫做态射的）变换的对象（就是说其他数学结构的例子）。例如，所有群（如上面定义的）也是一个集合，所以群是在集合范畴中的群对象。

拓扑群

某些拓扑空间可以配备上群结构。为了让群公理与拓扑交织良好，群运算必须是连续函数，就是说如果g和h只变化很小，那么g·h,和g⁻¹必须变化不大。这种群叫做拓扑群，并且它们是在拓扑空间范畴内的群对象。^[67]最基本的例子是实数R在加法之下(R\{0},·)，任何其他拓扑域比如复数或p进数也是类似。所有这些群都是局部紧拓扑群，所以它们有哈尔测度并可以通过调和分析来研究。前者提供了不变积分的抽象形式化。以实数情况为例，不变性意味着有：

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(x+c)\,dx}$ 

对于任何常数c成立。在这些域上的矩阵群也属于这种结构下，赋值向量环和赋值向量代数群也是如此，它们对数论是基础性的。^[68]无限域扩张的伽罗瓦群比如绝对伽罗瓦群也可以配备上拓扑，叫做Krull拓扑，它又是推广上面概述的域和群的连接到无限域扩张的中心概念。^[69]适应代数几何需要的这个想法的高级推广是étale基本群。^[70]

李群

李群（为纪念索菲斯·李而命名）是具有流形结构的群，就是说它们是局部上看起来像某个适当维度的欧几里得空间的空间。^[71]这里，作为额外结构的流形结构也必须是兼容的，就是说对应于乘法和求逆的映射必须是光滑的。

标准例子是上面介绍的一般线性群：它是所有${\displaystyle n\times n}$ 矩阵的空间的开子集，因为它由不等式

det (A) ≠ 0，

给出。这里的A指示${\displaystyle n\times n}$ 矩阵。^[72]

李群在物理中是基础性的：诺特定理把连续对称与守恒定律关联起来。^[73]在空间和时间中旋转和平移不变性是力学定律的基本对称。它们可以被用来构造简单的模型——比如在一种状况下实施轴对称常常会导致在解用来提供物理描述的方程上的重大简化。^[v]另一个例子是洛伦兹变换，它有关于两个相互运动的观察者的时间和速度的测量。它们可以用纯群论方式推演，通过把变换表达为闵可夫斯基时空的旋转对称。在忽略万有引力的情况下，后者充当了狭义相对论的时空模型。^[74]闵可夫斯基时空的完全对称群，就是说包括了平移，叫做庞加莱群。通过上述联系，它在狭义相对论中扮演了关键角色，并隐含地用于量子场论。^[75] 随位置变化的对称与规范场论一起构成现代物理对相互作用的描述的中心。^[76]

在抽象代数中，通过放松定义群的某个公理可定义出更多的一般结构。^[26][77][78]例如，如果省略所有元素都逆元的要求，结果的代数结构就叫做幺半群。自然数集N（包括0）在加法下形成了幺半群，还有非零整数在乘法下(Z\{0},·)也是。有一种一般方法用来向任何（阿贝尔的）幺半群正式的增加元素的逆元，非常类似于从(Z\{0},·)得出(Q\{0},·)的方式，这叫做格罗滕迪克群。广群非常类似于群，除了复合a · b不必须在所有的a和b上有定义之外。它们由更加复杂形式的对称的研究所引发，常见于拓扑和分析结构比如基本广群中。表格给出一些推广群的结构。

引文

• 埃里克·韦斯坦因. Group. MathWorld. 
• Group （页面存档备份，存于互联网档案馆） at PlanetMath.
• The development of group theory （页面存档备份，存于互联网档案馆） at The MacTutor History of Mathematics archive.