交错群

对 n > 1，群 A_n 是对称群 S_n 的交换子群，指数为 2，从而有n!/2 个元素。它是符号群同态 sgn : S_n → {1, −1} 的核。

群 A_n 是阿贝尔的当且仅当 n ≤ 3，单当且仅当 n = 3 或 n ≥ 5。注意 A₃ 事实上是 3 阶单群。A₁ 与 A₂ 是 1 阶群，一般不称为单的，而 A₄ 有一个非平凡正规子群从而不单。A₅ 是最小非阿贝尔单群，阶数为 60，也是最小不可解群。

在对称群中，A_n 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成，这里长为 1 的轮换包含在轮换型中，则对这样的轮换型恰有两个共轭类 （Scott 1987，§11.1, p299）。

例如：

• 两个置换 (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S₃ 中共轭，但在 A₃ 中不共轭。
• 置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S₈ 中共轭，但在 A₈ 中不共轭。

对 n > 3，除了 n = 6，A_n 的自同构群就是 S_n 的自同构群，其内自同构群为 A_n 外自同构群为 Z₂；外自同构来自用一个奇置换共轭。

对 n = 1 与 2，自同构群平凡。对 n = 3 自同构群是 Z₂，其内自同构群平凡外自同构群为 Z₂。

A₆ 的外自同构群是克莱因四元群 V = Z₂ × Z₂，这也是 S₆ 的自同构群。 A₆ 另外的自同构将三轮换（比如 (123)）与 3² 型元素（比如 (123)(456)）交换。

在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

• A₄ 同构于 PSL₂(3) 以及手征性四面体对称之对称群。
• A₅ 同构于 PSL₂(4)，PSL₂(5)，以及手征性二十面体对称之对称群。
• A₆ 同构于 PSL₂(9) 与 PSp₄(2)'。
• A₈ 同构于 PSL₄(2)。

更显然有 A₃ 同构于循环群 Z₃，以及 A₁ 与 A₂ 同构于平凡群（也是 SL₁(q)=PSL₁(q) 对任何 q）。

A₄ 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d，不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A₄，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群（由三个对象的轮换旋转生成）再加上任何一个其它元素生成整个群。

交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论（英语：stable homotopy theory）中的稳定性：对足够大的 n 是常值。

H₁：阿贝尔化

第一同调群与阿贝尔化相同，因为 ${\displaystyle A_{n}}$  除去已经提到的例外是完全群（完满群），从而有

${\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbf {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbf {Z} /3;\,}$ 

${\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbf {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbf {Z} /3;\,}$ 

${\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbf {Z} )=0}$  for ${\displaystyle n=1,2}$  and ${\displaystyle n\geq 5.\,}$ 

H₂：舒尔乘子

当 n 等于 5 或大于等于 8 时，交错群 A_n 的舒尔乘子（英语：Schur multiplier）是 2 阶循环群；在 6 和 7 时有一个三重复盖，则舒尔乘子的阶数为 6。

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=0}$  for ${\displaystyle n=1,2,3;\,}$ 

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /6}$  对 ${\displaystyle n=6,7;\,}$ 

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2}$  对 ${\displaystyle n=4,5}$  与 ${\displaystyle n\geq 8.}$ 

• Scott, W.R., Group Theory, New York: Dover Publications, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8 
• 徐明曜, 有限群导引·上册（第二版）, 北京: 科学出版社, 2001, ISBN 7-03-007119-0