辛群

域F上次数为2n的辛群是由2n阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群，记为Sp(2n,F)。由于辛矩阵之行列式恒等于一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定义为F上一个2n维向量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的向量空间称为辛向量空间。一个辛向量空间V产生的辛群记为Sp(V)。

当n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，当n>1时，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常将域F取为实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 、复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 或非阿基米德局部域，如p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 。此时辛群Sp(2n,F)是维度等于${\displaystyle n(2n+1)}$ 的连通代数群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ 是单连通的，而${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 的基本群则同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$ 的李代数可以刻划为满足下列条件的2n阶方阵${\displaystyle A}$ ：

${\displaystyle \Omega A+A^{T}\Omega =0}$ 

其中${\displaystyle A^{T}}$ 表示${\displaystyle A}$ 的转置矩阵，而${\displaystyle \Omega }$ 是下述反对称矩阵

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$ 

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  定义为 ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}}$ （${\displaystyle \mathbb {H} }$ 表四元数）上保持标准埃尔米特形式

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}$ 

之可逆线性变换。换言之，${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  即四元数上的酉群${\displaystyle \mathrm {U} (n,\mathbb {H} )}$ 。有时此群也被称为超酉群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)}$  即单位四元数构成之群，拓扑上同胚于三维球 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ 。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  并不同构于之前定义的 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 。下节将解释其间的联系。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  是 ${\displaystyle n(2n+1)}$  维之紧致、连通、单连通实李群，并满足

${\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )}$ 

其李代数由满足下述关系的 n 阶四元数矩阵构成

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$ 

其中 ${\displaystyle A^{\dagger }}$  是 ${\displaystyle A}$  的共轭转置（在此取四元数之共轭运算）。李括积由矩阵之交换子给出。

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$  有时称为酉辛群，记为 ${\displaystyle \mathrm {USp} (2n)}$ 

以上定义之${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 与${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作${\displaystyle C_{n}}$ 。此李代数也就是复李群${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ 之李代数，记作${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {C} )}$ 。它有两个不同的实形式：

1. 紧致形式${\displaystyle \mathrm {sp} (n)}$ ，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 之李代数。
2. 正规形式${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ 。

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、辛符号
• 哈密顿力学