四元数

定义

复数是由实数加上虚数单位 ${\displaystyle i}$  组成，其中

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$ 。

相似地，四元数都是由实数加上三个元素 ${\displaystyle i}$ 、${\displaystyle j}$ 、${\displaystyle k}$  组成，而且它们有如下的关系：

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,}$ 

每个四元数都是 1、${\displaystyle i}$ 、${\displaystyle j}$  和 ${\displaystyle k}$  的线性组合，即是四元数一般可表示为${\displaystyle a+bi+cj+dk\,}$ 。

要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘法表：

四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群，${\displaystyle Q_{8}}$ 。

性质

四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如：

${\displaystyle i\,j=k,\,j\,i=-k}$ ；

${\displaystyle j\,k=i,\,k\,j=-i}$ ；

${\displaystyle k\,i=j,\,i\,k=-j}$ 。

四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。 四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。

四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。 例如方程 ${\displaystyle h^{2}+1=0\,}$  就有无数多个解。 只要是符合 ${\displaystyle b^{2}+c^{2}+d^{2}=1\,}$  的实数，那么 ${\displaystyle h=b\,i+c\,j+d\,k}$ 就是一个解。

一个四元数 ${\displaystyle h=a+b\,i+c\,j+d\,k}$  的共轭值定义为：

而它的绝对值则是非负实数，定义为：

注意${\displaystyle (h\,k)^{*}=k^{*}\,h^{*}}$ ，一般状况下不等于${\displaystyle h^{*}\,k^{*}}$ 。

四元数的乘逆可以${\displaystyle h^{-1}={\frac {h^{*}}{\left|h\right|^{2}}}}$ 算得。

透过使用距离函数 ${\displaystyle d(h,k)=|h-k|\,}$ ，四元数便可成为同胚于 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$  的度量空间， 并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数${\displaystyle h\,}$ 和${\displaystyle k\,}$ 皆有 ${\displaystyle |h\,k|=|h|\,|k|}$ 。 若以绝对值为模，则四元数可组成一实数 巴拿赫空间。

群旋转

非零四元数的乘法群在R³的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t)，它的共轭作用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：

1. 表达式无奇点（和例如欧拉角之类的表示相比）
2. 比矩阵更简炼（也更快速）
3. 单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。

所有单位四元数的集合组成一个三维球S³和在乘法下的一个群（一个李群）。S³是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双重复盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S³和SU(2)同构，SU(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a, b, c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。

以矩阵表示四元数

有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。

第一种是以二阶复数矩阵表示。四元数的三个元素i、j、k采用矩阵表示法（其中斜体字${\displaystyle i}$ 为${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ；σ_x、σ_y、σ_z为泡利矩阵）：

${\displaystyle \mathbf {i} =-i\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}},\mathbf {j} =-i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\mathbf {k} =-i\sigma _{z}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}}$ 。

则任意四元数h = a + bi + cj + dk的矩阵形式为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}}$ 

这种表示法有如下优点：

• 使b = d = 0，可回归到一复数h = a + cj，相应于一个实矩阵。（参见复数的矩阵表达式。）
• 四元数的绝对值平方就等于矩阵的行列式。
• 四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
• 对于单位四元数 (|h| = 1) 而言，这种表示方式给了四维球体和SU(2)之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（参见泡利矩阵）

第二种则是以四阶实数矩阵表示（相当与把上述表示中的复数再换成其矩阵表示）：${\displaystyle i\leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&d&-c&b\\-d&a&-b&-c\\c&b&a&-d\\-b&c&d&a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$ 

其中四元数的共轭等于矩阵的转置，模的四次方等于矩阵的行列式。

四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。

此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与标量的结合，另一形式两个创建量(constructor)与双向量(bivector；i、j与k)的结合。

定义两个四元数:

${\displaystyle q=a+{\vec {u}}=a+bi+cj+dk}$ 

${\displaystyle p=t+{\vec {v}}=t+xi+yj+zk}$ 

其中${\displaystyle {\vec {u}}}$ 表示矢量<b, c, d>，而${\displaystyle {\vec {v}}}$ 表示矢量<x, y, z>.

加、乘和一般函数

四元数加法：p + q

跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来：

${\displaystyle p+q=a+t+{\vec {u}}+{\vec {v}}=(a+t)+(b+x)i+(c+y)j+(d+z)k}$ 

加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：qp

两个四元数之间的非可换乘积通常被称为格拉斯曼积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是：

${\displaystyle qp=at-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+a{\vec {v}}+t{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}}$ 

${\displaystyle qp=(at-bx-cy-dz)+(bt+ax+dy-cz)i+(ct+ay+bz-dx)j+(dt+za+cx-by)k\,}$ 

由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是:

${\displaystyle qp=at-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+a{\vec {v}}+t{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}}$ 

四元数点积： p · q

点积也叫做欧几里得内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。

${\displaystyle p\cdot q=at+{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=at+bx+cy+dz}$ 

点积可以用格拉斯曼积的形式表示:

${\displaystyle p\cdot q={\frac {p^{*}q+q^{*}p}{2}}}$ 

这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：

${\displaystyle p\cdot i=x}$ 

四元数外积：Outer(p,q)

欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:

${\displaystyle \operatorname {Outer} (p,q)={\frac {p^{*}q-q^{*}p}{2}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {Outer} (p,q)=t{\vec {u}}-a{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\vec {u}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {Outer} (p,q)=(tb-ax+cz-dy)i+(tc-ay+dx-bz)j+(td-az+by-xc)k}$ 

四元数偶积：Even(p,q)

四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。

${\displaystyle \operatorname {Even} (p,q)={\frac {pq+qp}{2}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {Even} (p,q)=at-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+a{\vec {v}}+t{\vec {u}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {Even} (p,q)=(at-bx-cy-dz)+(ax+tb)i+(ay+tc)j+(az+td)k}$ 

四元数叉积：p × q

四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：

${\displaystyle p\times q={\frac {pq-qp}{2}}}$ 

${\displaystyle p\times q={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$ 

${\displaystyle p\times q=(cz-dy)i+(dx-bz)j+(by-xc)k}$ 

四元数的逆：p⁻¹

四元数的逆通过p⁻¹p = 1被定义。 它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造：

${\displaystyle p^{-1}={\frac {p^{*}}{p\cdot p}}}$ 

一个四元数的自身点积是个标量。四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。

四元数除法：p⁻¹q

四元数的不可换性导致了 p⁻¹q 和 qp⁻¹的不同。 这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。

四元数标量部：Scalar(p)

四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：

${\displaystyle 1\cdot p={\frac {p+p^{*}}{2}}=t}$ 

四元数向量部：Vector(p)

四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：

${\displaystyle \operatorname {Outer} (1,p)={\frac {p-p^{*}}{2}}={\vec {u}}=bi+cj+dk}$ 

四元数模：|p|

四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

${\displaystyle |p|={\sqrt {p\cdot p}}={\sqrt {p^{*}p}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$ 

四元数符号数：sgn(p)

一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)={\frac {p}{|p|}}}$ 

四元数辐角：arg(p)

辐角函数可找出一个四元数向量偏离单位标量(即：1)之角度。此函数输出一个标量角度。

${\displaystyle \arg(p)=\arccos \left({\frac {\operatorname {Scalar} (p)}{|p|}}\right)}$ 

幂和对数

因为四元数有除法，所以幂和对数可以定义。

• 自然幂：${\displaystyle \exp(p)=\exp(a)(\cos(|{\vec {u}}|)+\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sin(|{\vec {u}}|))}$ 

• 自然对数：${\displaystyle \ln(p)=\ln(|p|)+\operatorname {sgn}({\vec {u}})\arg(p)}$ 

• 幂：${\displaystyle p^{q}=e^{q\ln(p)}\,}$ 

三角函数

• 正弦：${\displaystyle \sin(p)=\sin(a)\cosh(|{\vec {u}}|)+\cos(a)\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sinh(|{\vec {u}}|)}$ 

• 余弦：${\displaystyle \cos(p)=\cos(a)\cosh(|{\vec {u}}|)-\sin(a)\operatorname {sgn}({\vec {u}})\sinh(|{\vec {u}}|)}$ 

• 正切：${\displaystyle \tan(p)={\frac {\sin(p)}{\cos(p)}}}$ 

双曲函数

• 双曲正弦: ${\displaystyle \sinh(p)=\sinh(a)\cos(|{\vec {u}}|)+\cosh(a)\operatorname {sgn}(|{\vec {u}}|)\sin(|{\vec {u}}|)}$ 

• 双曲余弦: ${\displaystyle \cosh(p)=\cosh(a)\cos(|{\vec {u}}|)+\sinh(a)\operatorname {sgn}(|{\vec {u}}|)\sin(|{\vec {u}}|)}$ 

• 双曲正切: ${\displaystyle \tanh(p)={\frac {\sinh(p)}{\cosh(p)}}}$ 

反双曲函数

• 反双曲正弦: ${\displaystyle \operatorname {arcsinh} (p)=\ln(p+{\sqrt {p^{2}+1}})}$ 

• 反双曲余弦: ${\displaystyle \operatorname {arccosh} (p)=\ln(p+{\sqrt {p^{2}-1}})}$ 

• 反双曲正切: ${\displaystyle \operatorname {arctanh} (p)={\frac {\ln(1+q)-\ln(1-q)}{2}}}$ 

反三角函数

将这些被放到最后，是因为需要先定义四元数中的反双曲三角函数。

• 反正弦函数: ${\displaystyle \arcsin(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arcsinh} (p\operatorname {sgn}({\vec {u}}))}$ 

• 反余弦函数: ${\displaystyle \arccos(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arccosh} (p)}$ 

• 反正切函数: ${\displaystyle \arctan(p)=-\operatorname {sgn}({\vec {u}})\operatorname {arctanh} (p\operatorname {sgn}({\vec {u}}))}$ 

广义化

若 F 是一个域，且 a、b 为 F 的元素，那么就可在 F 上定义一个四维单一结合代数，而它的产生是由符合 i² = a、j² = b 和 ij = -ji 的 i、j 而起。 这些代数不是与 F 的二阶矩阵代数同型，就是 F 的除法代数。它们称为“四元数代数”。

四元数是由哈密顿在1843年爱尔兰发现的。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子（即构建不出三元数），但四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时突然想到

的方程解。之后哈密顿立刻将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出向量和矩阵）。

不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。若两个标量部为零的四元数相乘，所得的标量部便是原来的两个向量部的标量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。

哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，长达八百多页。

用途争辩

即使到目前为止四元数在某些领域的用途仍在争辩之中。一些哈密顿的支持者非常反对奥利弗·亥维赛的向量代数和约西亚·吉布斯的向量分析的发展，以维持四元数的超然地位。对于三维空间这可以讨论，但对于更高维四元数就失效了（但可用延伸如八元数和克利福德代数）。而事实上，在20世纪中叶的科学和工程界中，向量几乎已完全取代四元数的位置。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦曾经在他的《电磁场动力理论》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条以向量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。

事实上，四元数是常被数学家称为几何代数的clifford代数的一个子代数，而后者已经得到很好的研究和应用，尤其是在理论物理中。例如可以用几何代数将狭义相对论和经典电动力学表述为非常优美的形式，量子力学中讨论自旋常用的泡利矩阵实际上也是几何代数的一个子代数的矩阵表示，类似的例子还有对经典力学中刚体的转动的不可交换性的表述。

四元数大量用于计算机图形学中，表示三维对象的旋转及方位。四元数亦见于控制论、信号处理、姿态控制（英语：Attitude control）、物理、轨道力学和生物信息学，^[1][2] 都是用来表示旋转和方位。

相对于另两种旋转表示法（矩阵和欧拉角），四元数具有某些方面的优势，如速度更快、提供平滑插值、有效避免万向锁问题、存储空间较小等等 ^[3]。

• 复数
• 八元数
• 十六元数
• 超复数
• 泡利矩阵
• 四平方和定理
• 四元数与空间旋转

• （英文）Doing Physics with Quaternions （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）Quaternion Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Java)
• （英文）The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)
• （英文）Tait, Peter Guthrie, “Quaternion. [2016-01-09]. （原始内容存档于2014-08-08）. ”. M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160-164. (PostScript)
• Kuipers, Jack (2002). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality (Reprint edition). Princeton University Press. （简体中文）关于四元数的几何意义和物理应用 （页面存档备份，存于互联网档案馆）