巴拿赫空间

以下令域K为R或C其中之一。

常见的欧氏空间 Kⁿ（其范数为欧几里德范数，x = (x₁, …, x_n)的范数定义为||x|| = (x₁²+…+ x_n²)^1/2）是巴拿赫空间。因此，因为在每一个有限维K向量空间上的所有范数均等价，所以每一个具有任意范数的有限维K向量空间都是巴拿赫空间。

考虑一个由定义于闭区间[a, b] 上的所有连续函数ƒ : [a, b] → K 所组成的空间。这个空间会成为一个巴拿赫空间（标记为C[a, b]），若存在一个定义在此空间中的洽当范数${\displaystyle \Vert f\Vert }$ 。此类范数可以定义为${\textstyle \Vert f\Vert =\sup _{x\in \left[a,b\right]}\left|f(x)\right|}$ ，称之为最小上界范数。上述范数是良好定义的，因为定义于闭区间的连续函数都是有界的。

若f 为一个定义于闭区间上的连续函数，则此函数为有界的，并其定义如上的最小上界可由极值定理取得，因此可以用最大值来取代最小上界。在此例之中，其范数也称为“最大值范数”。

上述空间也可推广至由所有连续函数X → K（其中X 为一紧致空间）或所有“有界”连续函数X → K（其中X为任意拓扑空间）所组成的空间，标记为C(X)；或由所有有界函数X → K（其中X 为任意集合）所组成的空间，标记为B(X)。在上述所有的例子之中，甚至可以将函数相乘，而乘积还会在原空间内；亦即，上述所有例子实际上都会是有单位的巴拿赫代数。

对每一个开集Ω ⊆ C，由所有有界解析函数u : Ω → C 所组成的集合A(Ω) 会是一个在最小上界范数下的复巴拿赫空间。这可以用解析函数的一致极限也会是解析的这个事实来证明。

设p ≥ 0 为一实数，考虑由K 内元素排成的所有其无穷级数∑_i |x_i|^p 为有限的无限序列(x₁, x₂, x₃, …)所组成的空间。这个级数的p次方根即定义为此序列的p-范数。上述空间和范数即会形成一个巴拿赫空间，标记为ℓ ^p。

巴拿赫空间ℓ^∞ 是由所有在K内元素排成的所有有界序列所组成的空间；此类序列的范数定义为序列中每个数字的绝对值的最小上界。

再者，设p ≥ 1 为一实数，可考虑由所有其|ƒ|^p为勒贝格可积的函数ƒ : [a, b] → K所组成的空间。此函数积分的p 次方根即定义为其范数。但上述空间和范数不能形成一个巴拿赫空间，因为存在一个范数为零的非零函数。但可定义一个等价关系：f 及g 为等价当且仅当ƒ−g 的范数为零。如此，其等价类即可形成一个巴拿赫空间，标记为L^p([a, b])。在这里使用勒贝格积分，而不是黎曼积分是有原因的，因为黎曼积分无法形成一个完备空间。这个空间可以再被推广，详细可见L^p空间。

假设 V 和 W 是同一个数域 K 上的巴拿赫空间，所有线性变换 A : V → W 的集合记为 L(V, W)。注意：在无限维空间中，线性变换未必是连续的。L(V, W) 本身是一个向量空间。

定义 ||A|| = sup { ||Ax|| : ||x|| ≤ 1 }，可以验证这是 L(V, W) 上的一个范数，使得 L(V, W) 成为一个巴拿赫空间。如果还将映射的复合运算定义为线性变换的乘法，则 L(V) = L(V, V) 构成一个有单位元的巴拿赫代数。

• 空间 (数学) - 具有一些附加结构的数学集合
  • 弗雷歇空间
  • 哈代空间
  • 希尔伯特空间——完备的内积空间；巴拿赫空间的一种，其标准诱导内积遵循平行四边形原则
  • L^p空间——函数组成的赋范空间，是有限维p范数空间的推广
  • 索伯列夫空间——函数组成的巴拿赫空间，其范数为函数自身的Lᵖ范数，及最初若干阶导数Lᵖ范数的和
• 巴拿赫代数
• 对偶空间——线性泛函构成的向量空间（或包含全域泛函，或仅包含连续泛函）