解析函数

形式地说，设开集${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$  ，且函数 ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} }$ ，若对任何 ${\displaystyle x_{0}\in D}$  都存在 ${\displaystyle x_{0}}$  在 ${\displaystyle D}$  中的开邻域，使得 ${\displaystyle f}$  在其内可表为下述收敛幂级数,则此（实）函数称为${\displaystyle D}$ 上的（实）解析函数：

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots }$

其中系数 ${\displaystyle a_{i}}$  皆为实数。

或者等价地，实解析函数也可以定义为在定义域 ${\displaystyle D}$  内每一点${\displaystyle x_{0}}$ 的泰勒级数皆逐点收敛的光滑函数 ${\displaystyle f}$ ，即：

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$ 

在${\displaystyle x_{0}}$ 的某个邻域收敛到 ${\displaystyle f(x)}$ 。

集合${\displaystyle D}$ 上的解析函数全体组成的集合通常记做${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(D)}$ 。

若函数${\displaystyle f(x)}$ 在点${\displaystyle x_{0}}$ 的某个邻域上解析，则称${\displaystyle f(x)}$ 在点${\displaystyle x_{0}}$ 处解析。

复解析函数的定义类此，仅须将上式的中的实数线换作复平面，并将实数换作复数即可。一个函数是复解析的，当且仅当这个函数是全纯的（即复可微的）。出于这个原因，术语“全纯”和“解析”经常可以互换。

典型的解析函数有：

• 全部初等函数：
  • 多项式函数是解析的。对于次数为n的多项式，其泰勒级数中大于n阶的项必为零，自然也是收敛的。
  • 指数函数是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。
  • 三角函数、对数函数、幂函数在相应的定义域上都是解析的。

• 多数特殊函数（至少在复平面上的某些区域）
  • 超几何函数
    • 贝塞尔函数
  • 伽马函数

典型的非解析函数有：

• 绝对值函数非解析函数，因为它在点0处不可微。分段定义的函数在分段处通常不是解析的。
• 复共轭函数${\displaystyle z\mapsto z^{*}}$ 非复解析函数，尽管它在实数线上的限制（即恒等函数）是实解析函数。但如果把它看作从${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 到${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 的映射，则是实解析的。

以下条件等价：

1. ${\displaystyle f}$ 是${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ 上的实解析函数。
2. ${\displaystyle f}$ 可以复解析延拓到复平面的开集${\displaystyle G}$ 上，${\displaystyle G\supseteq D}$ 。
3. ${\displaystyle f}$ 是光滑的，且对任意紧集${\displaystyle K\subset D}$ ，存在常数${\displaystyle C}$ 使得对任意的${\displaystyle x\in K}$ 、非负整数${\displaystyle k}$ ，不等式${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}\right|\leq C^{k+1}k!}$ 成立。

复解析函数与全纯函数等价，因此也更容易鉴别。

• 解析函数的和、积与复合仍是解析函数（惟合成时须留意定义域的问题）。
• 若解析函数在一个开集上非零，则它在该开集上的倒数仍为解析函数。若一个可逆解析函数的导函数处处不为0，则其反函数也是解析函数。
• 凡解析函数皆属光滑函数，即无穷可微。逆命题对实解析函数不成立。实际上，在某种意义上，实解析函数相比于实光滑函数是很稀少的。对复函数，逆命题确实成立，实际上任何一次可微的复函数都是解析的。
• 对任何开集${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ ，所有解析函数组成的集合${\displaystyle {\mathcal {A}}(\Omega )}$ 是弗雷歇空间（关于紧集上的一致收敛）。由莫雷拉定理易得解析函数在紧集上的一致极限仍是解析函数。全部的有界解析函数${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\infty }(\Omega )}$ 关于上确界范数构成巴拿赫空间。

事实上，假设所论解析函数皆可在原点附近一开集 ${\displaystyle B(0,r):=\{x:|x|<r\}}$  上表示为幂级数，则上述运算可以形式地操作：

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}+\sum _{i\geq 0}b_{i}x^{i}=\sum _{i\geq 0}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$ 

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}x^{j}=\sum _{k\geq 0}(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j})x^{k}}$ 

${\displaystyle f(x)=\sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i},g(x)=\sum _{i>0}b_{i}x^{i}}$ 

${\displaystyle \Rightarrow (f\circ g)(x)=\sum _{i\geq 0}(\sum _{j>0}b_{j}x^{j})^{i}}$ （定义域可能会缩小）

${\displaystyle f(x)=1-\sum _{i>0}a_{i}x^{i}\Rightarrow {\dfrac {1}{f(x)}}=\sum _{j\geq 0}(\sum _{i>0}a_{i}x^{i})^{j}}$ 

其中每个运算结果的系数都可以写成有限的代数式。

一个非零多项式的零点数不大于它的次数，解析函数的零点也有类似的限制：若一解析函数的零点集在定义域内有极限点，则函数在包含该点的连通分支上恒为零。此外，若解析函数在一点的各阶导数皆为零，则该函数在含该点的连通分支上为常数函数。

这些性质表明：尽管解析函数比多项式有更多的自由度，它仍是一个具有相当“刚性”的数学对象。

如上所述，实或复解析函数均在实变量的意义上无穷可微（记作光滑函数，或 ${\displaystyle C^{\infty }}$ ）。但是存在光滑却非解析的函数，典型的例子是

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&x>0,\\0&x\leq 0\end{cases}}}$ 

可证明它是光滑的，且在原点的任意开邻域内都有无穷多个零点，故非解析。

复解析函数则不同：凡复解析函数必为全纯函数（即复可导，以实变量表示则是满足柯西-黎曼方程），反之亦然，因此全纯函数与解析函数在复分析中是同一类对象。

实解析与复解析函数有些重要差异，一般而言复解析函数更具刚性。

依据刘维尔定理，定义在整个复平面上的有界解析函数必为常数。此结论对实解析函数不成立，例如：

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$ 

此外，若一个复解析函数在一个以 ${\displaystyle x_{0}}$  为中心的开圆盘内有定义，则在 ${\displaystyle x_{0}}$  的幂级数展开式在该开圆盘内收敛。对实解析函数则不然。上面举的例子在${\displaystyle x_{0}=0}$ 处的泰勒展开式为${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}x^{2n}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$ ，在${\displaystyle |x|>1}$ 时发散。

给定实数线上一个区间 ${\displaystyle I}$  上的实解析函数 ${\displaystyle f}$ ，则 ${\displaystyle f}$  能延拓为复平面上一开集 ${\displaystyle U\supset I}$  上的复解析函数。然而定义在整个 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  上的实解析函数不一定能延拓到整个 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ，如前例之 ${\displaystyle f}$ ，在点${\displaystyle \pm i}$ 处无定义。这解释了为何${\displaystyle f}$ 的泰勒级数在${\displaystyle |x|>1}$ 时发散，收敛半径为1。

幂级数可以定义在任意域上，取带有绝对值的域则能探讨收敛性。实解析函数与复解析函数分别对应到 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  与 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ；在数论上也考虑超度量域，如 p进数域 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}:={\widehat {{\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}}}$ 。

由于超度量域满足强三角不等式 ${\displaystyle |x+y|\leq \mathrm {max} (|x|,|y|)}$ ，遂具备许多独特性质，例如 ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}}$  收敛当且仅当${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=0}$ 。虽然超度量分析缺乏实数或复数上的直观，技术上却往往简单得多。

利用多元幂级数，可将解析函数的定义直接推广到多变元的情形。它们是局部上形如

${\displaystyle s(x):=\sum _{I}a_{I}(x-a)^{I}}$ 

的函数，其中 ${\displaystyle x,a}$  皆为向量，而 ${\displaystyle I}$  代表多重指标。

多元解析函数有一些性质和一元解析函数相同。但是，二维以上的解析函数还有一些有趣的新性质，复解析函数的情形尤其特出。例如：

• 根据Hartogs扩张定理，二元以上的复解析函数的零点集不会是离散的。

• 柯西－黎曼方程
• 全纯函数
• 伪解析函数
• 解析延拓

• Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. Graduate Texts in Mathematics 11 2nd. Springer-Verlag. 1978. ISBN 978-0-387-90328-6. 

• Hazewinkel, Michiel (编), Analytic function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Analytic Function. MathWorld.