极限点(英语:Limit point)在数学中是指可以被集合S中的点[注 1]随意逼近的点。[注 2]
这个概念有益的推广了极限的概念,并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上,一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点,而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。[注 3]
定义
为拓扑空间 ( 其拓扑为 ) 的子集且 ,若所有 的开集也包含至少一个 内的非x的点,即
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称 为 的极限点(注意到 不一定属于 )。由 内所有极限点所组成的集合称为 的导集,标记为 。
在T1空间里,上述定义和要求 的每个邻域皆包含无限多个 的点是等价的。[注 4]
另外,若X为序列空间,则可称x ∈ X为S的极限点,当且仅当存在一个由S \ {x}的点组成的ω序列,其极限为x;这也是“极限点”此一名称的由来。
特殊类型的极限点
如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点,则x是特殊类型极限点,称为S的ω‐会聚点(ω‐accumulation point)。
如果包含 的所有开集都包含不可数多个 的点,则 是特殊类型的极限点,称为 的缩合点(condensation point)。
ω‐会聚点
在度量空间中,ω‐会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中,两者概念不再等价。对于非强拓扑空间,一个所有ω‐会聚点都属于本身的集合不一定是闭集,但一个所有极限点都属于本身(导集包含于自身)的集合必为闭集。
度量空间的聚集点
在带有度量函数 的度量空间 且有 和 ,若对所有 ,存在 值使得 ,也就是
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这样称 是 的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)。直观上意为, 可以被 里的点(以度量 的意义上)无限制地逼近。
应用上, 为定义域的聚集点也是函数极限能在 上有定义的前提条件。
性质
- 关于极限点的性质: 是 的极限点,当且仅当它属于 \ { }的闭包。
- 证明:根据闭包定义,某点属于某集合的闭包,当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有:x是 的极限点,当且仅当所有 的邻域都包含一个非 的点属于S,当且仅当所有 的邻域含有一个点属于 \ {x},当且仅当 属于 的闭包。
- 的闭包具有下列性质: 的闭包等于 和其导集的并集。
- 证明:(从左到右)设 属于 的闭包。若 属于S,命题成立。若 ,则所有 的邻域都含有一个非 的点属于 ;也就是说,x是 的极限点, 。(从右到左)设 属于S,则明显地所有 的邻域和 相交,所以 属于 的闭包。若 属于L(S),则所有 的邻域都含有一个非 的点属于S,所以 也属于 的闭包。得证。
- 上述结论的推论给出了闭集的性质:集合 是闭集,当且仅当它含有所有它的极限点。
- 证明1:S是闭集,当且仅当 等于其闭包,当且仅当 = ∪ L(S),当且仅当L(S)包含于S。
- 证明2:设 是闭集, 是 的极限点。则 必须属于S,否则 的补集为 的开邻域,和 不相交。相反,设 包含所有它的极限点,需要证明 的补集是开集。设 属于 的补集。根据假设,x不是极限点,则存在 的开邻域U和 不相交,则U在 的补集中,则 的补集是开集。
- 孤点不是任何集合的极限点。
- 证明:若 是孤点,则{x}是只含有 的 的邻域。
- 空间 是离散空间,当且仅当 的子集都没有极限点。
- 证明:若 是离散空间,则所有点都是孤点,不能是任何集合的极限点。相反,若 不是离散空间,则单元素集合{x}不是开集。那么,所有{x}的邻域都含有点y ≠ x,则 是 的极限点。
- 若空间 有密着拓扑,且 是 的多于一个元素的子集,则 的所有元素都是 的极限点。若 是单元素集合,则所有 \ 的点仍然是 的极限点。
- 说明:只要 \ {x}非空,它的闭包就是X;只有当 是空集或 是 的唯一元素时,它的闭包才是空集。
注释
引用