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在数学,特别是点集拓扑学中,拓扑空间的子集的导集(导出集合)是的所有极限点的集合。它通常记为 。
这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年引入的,他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。
导集公理
导集是拓扑学的基础概念之一,可以用来定义拓扑空间。
给定集合 ,考虑一个定义在 的幂集 上的运算 ,若 满足以下导集公理,则称 为导集运算:
- D1:
- D2:
- D3:
- D4:
称为 的导集。
从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念:
- 闭集: 的子集 是闭集,当且仅当 。(从此处可以看到和闭集公理的等价性,从而可以等价地定义拓扑空间。)
- 同胚:拓扑空间 、 同胚,当且仅当存在双射 ,使得 。
相关概念
- 聚点
- 中的点称为 的聚点。
性质
- ,若 , , 。则称 和 是分离的。(注意: 不一定为 )。
- 集合 被定义为完美的,如果 。等价地说,完美集合是没有孤点的闭集。完美集合又称为完备集合。
- Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的的并集。因为任何波兰空间的 子集都再次是波兰空间,这个定理还证明了任何波兰空间的 子集都是可数集合和完美集合的并集。
- 拓扑空间 是T1 空间,当且仅当 。
引用
参见