双射

一函数${\displaystyle f}$ 为双射的当且仅当其逆关系${\displaystyle f^{-1}}$ 也是个函数。在这情况，${\displaystyle f^{-1}}$ 也会是双射函数。

两个双射函数${\displaystyle f:X\leftrightarrow Y}$ 及${\displaystyle g:Y\leftrightarrow Z}$ 的复合函数${\displaystyle g\circ f}$ 亦为双射函数。其反函数为${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})}$ 。

另一方面，若${\displaystyle g\circ f}$ 为双射的，可知${\displaystyle f}$ 是单射的且${\displaystyle g}$ 是满射的，但也仅限于此。

一由${\displaystyle X}$ 至${\displaystyle Y}$ 的关系${\displaystyle f}$ 为双射函数当且仅当存在另一由${\displaystyle Y}$ 至${\displaystyle X}$ 的关系${\displaystyle g}$ ，使得${\displaystyle g\circ f}$ 为${\displaystyle X}$ 上的恒等函数，且${\displaystyle f\circ g}$ 为${\displaystyle Y}$ 上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

若${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 为有限集合，则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。

• 对任一集合${\displaystyle X}$ ，其恒等函数为双射函数。
• 函数${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，其形式为${\displaystyle f(x)=2x+1}$ ，是双射的，因为对任一${\displaystyle y}$ ，存在一唯一${\displaystyle x=(y-1)/2}$ 使得${\displaystyle f(x)=y}$ 。
• 指数函数${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，其形式为${\displaystyle g(x)=e^{x}}$ ，不是双射的：因为不存在一${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内的${\displaystyle x}$ 使得${\displaystyle g(x)=-1}$ ，故${\displaystyle g}$ 非为双射。但若其陪域改成正实数${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )}$ ，则${\displaystyle g}$ 便是双射的了；其反函数为自然对数函数${\displaystyle \ln }$ 。
• 函数${\displaystyle h}$  : ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )}$ ，其形式为${\displaystyle h(x)=x^{2}}$ ，不是双射的：因为${\displaystyle h(-1)=h(1)=1}$ ，故${\displaystyle h}$ 非为双射。但如果把定义域也改成${\displaystyle [0,+\infty )}$ ，则${\displaystyle h}$ 便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$ 不是双射函数，因为${\displaystyle -1,0}$ 和${\displaystyle 1}$ 都在其定义域里且都映射至${\displaystyle 0}$ 。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)}$ 不是双射函数，因为${\displaystyle \pi /3}$ 和2${\displaystyle \pi /3}$ 都在其定义域里且都映射至${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$ 。

• 一由实数${\displaystyle \mathbb {R} }$ 至${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的函数${\displaystyle f}$ 是双射的，当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
• 设${\displaystyle X}$ 为一集合，则由${\displaystyle X}$ 至其本身的双射函数，加上其复合函数“${\displaystyle \circ }$ ”的运算，会形成一个群，即为${\displaystyle X}$ 的对称群，其标记为${\displaystyle {\mathfrak {S}}(X)}$ 、${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$ 或${\displaystyle X!}$ 。
• 取一定义域的子集${\displaystyle A}$ 及一陪域的子集${\displaystyle B}$ ，则

${\displaystyle |f(A)|=|A|}$ 且${\displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}$ 。

• 若${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 为具相同势的有限集合，且${\displaystyle f:X\to Y}$ ，则下列三种说法是等价的：

1. ${\displaystyle f}$ 为一双射函数。
2. ${\displaystyle f}$ 为一满射函数。
3. ${\displaystyle f}$ 为一单射函数。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如${\displaystyle y=x^{-3}}$ ）。

形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。

• 等势
• 单射
• 同构
• 排列
• 对称群
• 满射
• 双射计数法
• 水平线测试

• Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）