实数

在目前的初等数学中，没有对实数进行严格的定义，而一般把实数看作小数（有限或无限的）。实数的完备性可以利用几何加以说明，即数轴上的点与实数一一对应；见数轴。

实数可以分为有理数（如${\displaystyle 42}$ 、${\displaystyle -\frac{23}{129}}${\displaystyle -{\frac {23}{129}}}  ）和无理数（如${\displaystyle \pi }$ 、${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ），或者代数数和超越数（有理数都是代数数）两类。实数集合通常用字母${\displaystyle R}$ 或${\displaystyle \mathbb {R} }$ 表示。而${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 表示${\displaystyle n}$ 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。

实数可以用来测量连续变化的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后${\displaystyle n}$ 位，${\displaystyle n}$ 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数是一个集合，通常可以分为正数、负数和零（${\displaystyle 0}$ ）三类。“正数”（符号：${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ）即大于${\displaystyle 0}$ 的实数，而“负数”（符号：${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ ）即小于${\displaystyle 0}$ 的实数。与实数一样，两者都是不可数的无限集合。正数的相反数一定是负数，负数的相反数也一定是正数。除正数和负数外，通常将${\displaystyle 0}$ 与正数统称为“非负数”（符号：${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ），而将${\displaystyle 0}$ 与负数统称为“非正数”（符号：${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}$ ）。这和整数可以分为正整数、负整数和零（${\displaystyle 0}$ ），而${\displaystyle 0}$ 与正整数通常统称为非负整数、${\displaystyle 0}$ 与负整数则通常统称为非正整数非常相似。另外，只有实数可以分为正和负等，虚数是没有正负之分的。

在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。 直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

从有理数构造实数

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如${\displaystyle {3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159...}}$ 所定义的序列的方式而构造为有理数的完备化。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

公理化方法

设 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  是所有实数的集合，则：

• 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
• 域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  是个有序域，即存在全序关系${\displaystyle \geq }$  ，对所有实数${\displaystyle x,y}$ 和${\displaystyle z}$ ：
  • 若${\displaystyle x\geq y}$ 则${\displaystyle x+z\geq y+z}$ ·
  • 若${\displaystyle x\geq 0}$ 且${\displaystyle y\geq 0}$ 则${\displaystyle xy\geq 0}$ 
• 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  满足戴德金完备性，即任意 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  的非空子集${\displaystyle S(S\subseteq \mathbb {R} ,S\neq \varnothing )}$ ，若${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  内有上界，那么${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于${\displaystyle 2}$ 的有理数的集合存在有理数上界，如${\displaystyle 1.5}$ ；但是不存在有理数上确界（因为${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 不是有理数）。

实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ 和 ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$ ，存在从 ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$ 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同。

• ${\displaystyle 15}$  (整数)
• ${\displaystyle 2.121}$  (有限小数)
• ${\displaystyle -1.3333333\ldots }$  (无限循环小数)
• ${\displaystyle \pi =3.1415926\ldots }$  (无理数)
• ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ (无理数)
• ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$  (分数)

基本运算

在实数域内，可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数；只有非负实数才能开偶次方，其结果还是实数。

连续性或完备性

作为度量空间或一致空间，实数集合是一个完备空间，它有以下性质：

所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如，${\displaystyle (1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,\ldots )}$ 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 。实数是有理数的完备化：这亦是构造实数集合的一种方法。

完备的有序域（有序性）

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

• 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素${\displaystyle z}$ ，${\displaystyle z+1}$ 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
• 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述“公理”中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
• 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述“完备性”中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，${\displaystyle \mathbb {R} }$ 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的“阿基米德域”。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
• “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了“最大的”阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的子域。这样${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质

• 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为2^ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的ZF(ZFC)公理系统相互独立。
• 所有非负实数的平方根属于${\displaystyle R}$ ，但这对负数不成立。这表明${\displaystyle R}$ 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于${\displaystyle R}$ 。这两个性质使${\displaystyle R}$ 成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
• 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
• 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于${\displaystyle R}$ ，但也同样满足和${\displaystyle R}$ 一样的一阶逻辑命题。满足和${\displaystyle R}$ 一样的一阶逻辑命题的有序域称为${\displaystyle R}$ 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在${\displaystyle R}$ 中证明要简单一些），从而确定这些命题在${\displaystyle R}$ 中也成立。

拓扑性质

实数集构成一个度量空间：${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 间的距离定为绝对值 ${\displaystyle |x-y|}$ 。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是一维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝尔空间（英语：Baire space）。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：

• 令${\displaystyle a\;}$ 为一实数。${\displaystyle a\;}$ 的邻域是实数集中一个包括一段含有${\displaystyle a\;}$ 的线段的子集。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是可分空间。
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中处处稠密。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的开集是开区间的并集。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的紧子集等价于有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
• 每个${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中的有界序列都有收敛子序列。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是连通且单连通的。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中的连通子集是线段、射线与${\displaystyle \mathbb {R} }$ 本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
• 区间套定理：设${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 为一个有界闭集的序列，且${\displaystyle F_{n}\supset F_{n+1}}$ ，则其交集非空。严格表法如下：

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;\forall m>n\quad F_{m}\subset F_{n}\quad \Rightarrow \quad \bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}\;\neq \varnothing \;}$ .

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：

• 最自然的扩展可能就是复数了。复数集是包含了所有多项式的根的代数闭域。但是，复数集不是一个有序域。

• 实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。

• 有时候，形式元素 +∞和 -∞加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

• 希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

• 有理数
• 无理数
• 虚数
• 复数
• 实数系的连续性