勒贝格测度

人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射 m ，它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ，并称这个数为集合 E 的测度。最理想的情况下，m 应该具有以下性质：

• m 对于实数集的所有子集 E 都有定义。
• 对于一个区间 [a, b]，m([a, b]) 应当等于其长度 b − a。
• m 具有可数可加性。如果 (E_n) 是一列不相交的集合，并且 m 在其上有定义，那么 ${\displaystyle m\left(\bigcup _{n}E_{n}\right)=\sum _{n}m(E_{n})}$  ，其中 ⋃ 表示并集。
• m 具有平移不变性。设集合 E 及 E+k = {x+k : x ∈ E} （即将 E 的每个元素各加上同一个实数 k 所得到的集合），则 m(E+k) = m(E) 。

遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。

区间${\displaystyle I=[a,b]}$ 的长度定义为${\displaystyle |I|=b-a}$ 。对${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ，勒贝格外测度定义为

对每一列能覆盖${\displaystyle E}$ 的开区间${\displaystyle \{I_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ，作长度和${\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{\infty }{|I_{k}|}}$ 。所有这些${\displaystyle \mu }$ 组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做${\displaystyle \lambda ^{*}(E)}$ 。

勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合${\displaystyle E}$ 满足：

对所有${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ ，皆有${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\lambda ^{*}(A\cap E)+\lambda ^{*}(A\cap E^{c}),}$ 

则${\displaystyle E}$ 为勒贝格σ代数的元素，称为勒贝格可测集。对勒贝格可测集，其勒贝格测度${\displaystyle \lambda (E)}$ 就定义为勒贝格外测度${\displaystyle \lambda ^{*}(E)}$ 。

不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的幂集。

• 任何区间都是勒贝格可测的。闭区间${\displaystyle [a,b]}$ 、开区间${\displaystyle (a,b)}$ 的勒贝格测度都等于区间长度${\displaystyle b-a}$ 。
• 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
• 博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。
• 可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。
• 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
• 假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。
• 奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。

设集合 A 与 B 是在 Rⁿ 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：

1. 如果 A 是一列区间 (I_n) 的笛卡尔积 ${\displaystyle \prod _{n}I_{n}}$  ，则 A 是勒贝格可测的，并且 ${\displaystyle \lambda (A)=\prod _{n}\left|I_{n}\right|}$  ，其中 | I | 表示区间 I 的长度。
2. 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 (E_n) 的并集，则 A 也是勒贝格可测的，并且 ${\displaystyle \lambda \left(A\right)=\sum _{n}\lambda (E_{n})}$ 。
3. 如果 A 是勒贝格可测的，那么它相对于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的补集也是可测的。
4. 对于每个勒贝格可测集 A ， ${\displaystyle \lambda (A)\geq 0}$  。
5. 如果 A 与 B 是勒贝格可测的，且 A ⊆ B ，则 ${\displaystyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}$  。
6. 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。
7. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的博雷尔集（即由开集经可数多次交、并、差运算得到的集合）都是勒贝格可测的。^[1][2]
8. 勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说，${\displaystyle E}$ 是勒贝格可测集当且仅当对任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$ 存在开集${\displaystyle G}$ 与闭集${\displaystyle F}$ 使得${\displaystyle F\subset E\subset G}$ 且${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$ 。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）
9. 勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。
10. 非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 。
11. 如果 A 是勒贝格零测集，即 ${\displaystyle \lambda (A)=0}$  ，则 A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。
12. 如果 A 是勒贝格可测的，且 B = {x+k : x ∈ A} （即将 A 平移 k 个单位），则 B 也是勒贝格可测的，并且 ${\displaystyle \lambda (B)=\lambda (A)}$  。
13. 如果 A 是勒贝格可测的，且 B = {kx : x ∈ A} （即将 A 缩放 k 倍，${\displaystyle k>0}$ ），则 B 也是勒贝格可测的，并且 ${\displaystyle \lambda (B)=k^{n}\cdot \lambda (A)}$  。
14. 更一般地，设 T 是一个线性变换，det(T) 为其行列式。如果 A 是勒贝格可测的，则 T(A) 也是勒贝格可测的，并且 ${\displaystyle \lambda (T(A))=|\det(T)|\lambda (A)}$  。
15. 设 f 是一个从 A 到${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的连续单射函数。如果 A 是勒贝格可测的，则 f(A) 也是勒贝格可测的。

简要地说，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1}$  的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集 A 是零测集，如果对于任意${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，A 都可以用可数多个盒（即 n 个区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为${\displaystyle \varepsilon }$ 。所有可数集都是零测集。

如果${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集的豪斯多夫维数小于${\displaystyle n}$ ，那么它是关于${\displaystyle n}$ 维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于${\displaystyle n}$ ，但具有正的${\displaystyle n}$ 维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

勒贝格测度的现代构造基于外测度^[3]，并应用卡拉西奥多里扩张定理。

固定${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的盒子是形如${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}$ 的集合，其中${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$ ，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})}$ 

对于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的任何子集A，可以定义它的外测度${\displaystyle \lambda ^{*}(A):}$ 

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}}$ 是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了${\displaystyle A{\Bigr \}}.}$ 

然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ，都有：

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(A\cap S)+\lambda ^{*}(S\setminus A).}$ 

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为${\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{*}(A)}$ 

勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集，且其测度为正，那么A便有勒贝格不可测的子集。

1970年，Robert M. Solovay证明了，在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，勒贝格不可测集的存在性是不可证的（见Solovay模型）。

若 A 博雷尔可测，则其博雷尔测度与勒贝格测度一致；然而，更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 是一个局部紧群）。

豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的维数比n低的子集是很有用的，例如R³上的曲线、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。

可以证明，无法在无穷维空间上定义类似的勒贝格测度。

• 勒贝格密度定理
• 刘维尔数集的勒贝格测度