选择公理

首先定义几个概念：

集族：指由非空集合组成的集合。

选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族${\displaystyle X}$ 中的集合${\displaystyle s}$ ，${\displaystyle f(s)}$ 是${\displaystyle s}$ 的一个元素。

那么，选择公理表示：

对于所有的集族，均存在选择函数。

上述可表示为：

${\displaystyle \forall X\left[\emptyset \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.}$ 

或者：

设${\displaystyle X}$ 是一个集族，则存在着在${\displaystyle X}$ 上定义的一个选择函数${\displaystyle f}$ 。

该定理也可表达为：

集族上的任意笛卡尔积总是非空的。

变体

第二个版本的选择公理声称：

给定由相互不交的非空集合组成的任何集合，存在着至少一个集合，它与每个非空集合恰好有一个公共元素。

第三个版本声称：

对于任何集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A}$ 的幂集（减去空集）有一个选择函数。

使用这个版本的作者通常谈及“在${\displaystyle A}$ 上的选择函数”，但要注意这里选择函数的概念是稍微不同的。它的定义域是${\displaystyle A}$ 的幂集（减去空集），因此对任何集合${\displaystyle A}$ 有意义；至于本文中其他地方用的定义，在“集合的搜集”上的选择函数的定义域是这个搜集，所以只对集合的集合有意义。透过这个变体的定义，选择公理也可以简洁的陈述为

所有集合有一个选择函数。^[3]

它等价于

对于任何集合${\displaystyle A}$ 有一个函数使得对于${\displaystyle A}$ 的任何非空子集${\displaystyle B}$ ，${\displaystyle f(B)\in B}$ 。

而选择公理的否定表达为：

有一个集合${\displaystyle A}$ 使得对于所有函数${\displaystyle f}$ （在${\displaystyle A}$ 的非空子集的集合上），有一个${\displaystyle B}$ 使得${\displaystyle f(B)\notin B}$ 。

术语（AC，ZF，ZFC）

以下列出了这篇条目中各种与“选择公理”相关的缩写：

• AC：选择公理。
• ZF：策梅洛-弗兰克尔集合论，不包括选择公理。
• ZFC：策梅洛-弗兰克尔集合论，包括选择公理。

直到19世纪晚期，选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如，建立了只包含非空集合的集合${\displaystyle X}$ 之后，当时的数学家可能会直接说"设对于${\displaystyle X}$ 中所有${\displaystyle s}$ 有${\displaystyle F(s)}$ 是${\displaystyle s}$ 的成员之一"。一般来说，要是不用选择公理，是不可能证明${\displaystyle F}$ 的存在性的。这一点直到策梅洛之前似乎没有引起人们的注意。

不是所有的情况都需要选择公理。选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是，对于有限集合${\displaystyle X}$ ，选择公理的有限版本可以通过其他集合论公理推导得出。在这种情况下，它等价于说我们有多个（有限数目的）盒子，每个包含至少一个物体，则我们可以从每个盒子恰好选择一个物体。显然我们可以这么做：从第一个盒子开始，选择其中的一个物体；到下一个盒子，选择一个物体；如此类推。因为盒子数量有限，所以我们的选择过程最后一定会结束。这里给出的选择函数是明确的：第一个盒子对应于第一个选择的物体，第二个盒子对应于第二个选择物体；如此类推——此法之所以可行，是因为序对公理的原因。可以通过数学归纳法做出对所有有限集合的形式证明。

对于特定的无限集合${\displaystyle X}$ ，也可以避免使用选择公理。例如，假设${\displaystyle X}$ 的元素是自然数的集合。每个自然数的非空集合都有一个最小元，所以要指定我们的选择函数，我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元。这使得我们可以从每个集合明确地选择元素，以及写出一个明确的表达式，说明我们的选择函数如何取值。在能够指定一个明确选择方式的时候，选择公理都是没有必要的。

当缺乏从每个集合得到元素的直观选择方式时，困难就出现了。如果我们不能做明确的选择，我们如何知道我们的这个集合存在？例如，假设X是实数的所有非空子集的集合。首先我们也许想套用有限的情况去处理${\displaystyle X}$ 。如果我们尝试从每个集合选择一个元素，那么，因为实数集合是无限不可数，我们的选择过程永远不会结束。亦因如此，我们永远不能生成对${\displaystyle X}$ 的成员的选择函数。所以这种方法不能奏效。其次我们可以尝试给每个集合指定最小元素这种方式。但是某些实数的子集没有最小元素。例如，开区间${\displaystyle (0,1)}$ 没有最小元素：如果${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle (0,1)}$ 中，则${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ 也在其中，而${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ 总是严格的小于${\displaystyle x}$ 。所以这种方法也不行。

我们之所以能够从自然数的非空子集选择最小元素，是因为自然数上有一个自然良序：所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。

因此，我们可以采取这样的思路，“即使实数的正常排序并非良序，也有可能找到一个排序使得实数是良序的。在这个排序下，总能够选择实数非空子集的最小元素。这样便得到了选择函数”。问题就变成如何构造这样的排序。而事实上，“存在一个排序使得所有集合可以是良序的”这一命题成立，当且仅当选择公理为真。

有必要用到选择公理的证明总是非构造性的：即使证明给出了一个对象，精确地说出那个对象却是不可能的。如果我们不能写出选择函数的定义，则我们的选择就不是非常明确的。这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。例如，构造主义者论断说所有涉及存在性的证明都应当是完全明确的；构造任何存在的对象应当是可能的。他们拒绝选择公理^{[来源请求]}，因为它断言了不能具体描述是什么的对象的存在。

像上面讨论的那样，在ZFC中，选择公理能为一个不能明确构造出的对象给出“非构造性证明”来证明其存在性。然而，ZFC依然是在经典逻辑下被形式化的。在构造性数学领域，选择公理仍被深入研究，而当中应用的是非古典逻辑。在构造性数学的不同版本中，选择公理的状况也有所差别。

在直觉类型论和高阶的Heyting算术中，选择公理的适当陈述（按照推导方式）可以是作为一个公理，又或者作为一个可证明的定理^[4]。埃里特‧毕夏普（英语：Errett Bishop）认为选择公理可被视作是构造性的^[5]：

但在构造性集合论（英语：Constructive set theory）中，迪亚科内斯库定理表明选择公理蕴涵了排中律（在直觉类型论中，选择公理不蕴涵排中律）。因此选择公理在构造性集合论中并非普遍被接受。在类型论中的选择公理与在构造性集合论中的选择公理的区别是，前者不具有外延性而后者具有^[6]。

一些构造性集合论的结果用到了可数选择公理或依赖选择公理，这两个公理在构造性集合论内并不蕴涵排中律。尽管可数选择公理在构造性数学中的应用特别广泛，它的使用也受到质疑^[7]。

可构造性公理与连续统假设都蕴涵了选择公理，更准确地说，两者都严格强于选择公理^[8]。在类理论中，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和Morse–Kelley集合论，存在一个叫全局选择公理的公理，它比选择公理要强，因其同时也适用于真类。全局选择公理可由大小限制公理推出。

哥德尔证明了选择公理与ZF的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理独立于ZF。

引用

来源

• Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) pp. 261-81. PDF download via digizeitschriften.de

Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard Univ. Press. 编辑

• Paul Howard at EMU （页面存档备份，存于互联网档案馆）有很多人仍然在为选择公理和它的推论而乐此不疲地工作。如果你有兴趣了解更多内容，请参考这个网站。

参见

• 集合论
• 佐恩引理
• 良序定理
• 吉洪诺夫定理
• 策梅洛-弗兰克尔集合论
• 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论
• 全局选择公理
• 可数选择公理
• 连续统假设
• 排中律
• 直觉类型论