不可数集
不可数集(英语:uncountable set)是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集之间要是不存在一个双射,那么它就是一个不可数集。集合的不可数性与它的基数密切相关:如果一个集合的基数大于自然数的基数,那么它就是不可数的。
定义
不可数集有许多等价的定义。一个集合 是不可数集,当且仅当以下任何一个条件成立:
- 不存在从 到自然数集合的单射函数。
- 的基数既不是有限的,又不等于 (阿列夫-0,自然数集合的基数)。
- 的基数严格大于 。
性质
- 如果不可数集 是集合 的子集,则 是不可数集。
例子
不可数集的最广为人知的例子,是所有实数的集合 ;对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的,例如所有自然数的无穷序列的集合(甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合),以及自然数集合的所有子集所组成的集合。 的基数通常记为 、 ,或 。
康托尔集是 的一个不可数子集。它是一个分形,其豪斯多夫维大于零,但小于一( 的维数是一)。这是以下事实的一个例子:如果 的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维,那么它一定是不可数的。
另外一个不可数集的例子,是所有从 到 的函数的集合。这个集合比 更“不可数”,因为它的基数是 ,它比 还要大。
一个更加抽象的例子,是所有可数序数的集合,记为 或 。 的基数记为 。利用选择公理,可以证明 是最小的不可数基数。于是,实数的基数 ,要么等于 ,要么严格比它大。康托尔是第一个提出 是否等于 的问题的人。在1900年,希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。 的陈述现在称为连续统假设,现已知道它独立于集合论的ZF公理(包括选择公理)。
参见
- 可数集
- 阿列夫数
- 自然数
- 单射函数