子集

假设有${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 两个集合，如果${\displaystyle A}$ 中的每个元素都是${\displaystyle B}$ 的元素，则：

• ${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle B}$ 的子集，记作 ${\displaystyle A\subseteq B}$ 

也可以说

• ${\displaystyle B}$ 是${\displaystyle A}$ 的超集，记作 ${\displaystyle B\supseteq A}$ 

如果${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle B}$ 的子集，但${\displaystyle A}$ 不等于${\displaystyle B}$ （即${\displaystyle B}$ 中至少存在一个元素不在${\displaystyle A}$ 集合中），则：

• ${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle B}$ 的真子集，记作 ${\displaystyle A\subsetneqq B}$ 

也可以说

• ${\displaystyle B}$ 是${\displaystyle A}$  的真超集，记作 ${\displaystyle B\supsetneqq A}$ 

符号${\displaystyle \subseteq }$ 表示任何子集关系，符号${\displaystyle \subsetneqq }$ 表示真子集关系。${\displaystyle \subset }$ 也是一个很常见的符号，但其含义容易混淆。

有人用${\displaystyle \subset }$ 和${\displaystyle \supset }$ 表示任何子集和超集关系，即${\displaystyle \subseteq }$ 和${\displaystyle \supseteq }$ 所分别代表的含义。^[1][2][3]所以在这些作者的文章中，对于任意集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A\subset A}$  始终成立。

也有人用${\displaystyle \subset }$ 和${\displaystyle \supset }$ 表示真子集和真超集的概念，即${\displaystyle \subsetneqq }$ 和${\displaystyle \supsetneqq }$ 所分别代表的含义。^[4]:p.6这样${\displaystyle \subseteq }$ 和${\displaystyle \subset }$ 就类似于不等符号${\displaystyle \leq }$ 和${\displaystyle <}$ 的关系。例如如果 ${\displaystyle x\leq y}$ ，那么${\displaystyle x}$ 可能等于${\displaystyle y}$ 也可能不等于，而如果 ${\displaystyle x<y}$ ，那么${\displaystyle x}$ 就一定不等于${\displaystyle y}$ 。换用${\displaystyle \subset }$ 表示真子集，如果 ${\displaystyle A\subseteq B}$ ，那么${\displaystyle A}$ 可能等于${\displaystyle B}$ 也可能不等于，而如果 ${\displaystyle A\subset B}$ ，那么${\displaystyle A}$ 就一定不等于${\displaystyle B}$ 。

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：使用${\displaystyle \subseteq }$ 表示子集关系，${\displaystyle \subset }$ 表示真子集关系；或者使用${\displaystyle \subset }$ 表示子集关系，使用${\displaystyle \subsetneqq }$ 表示真子集关系。

• 集合${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$ 是集合${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$ 的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合${\displaystyle \{x:x}$ 是大于2000的素数${\displaystyle \}}$ 是集合${\displaystyle \{x:x}$ 是大于1000的奇数${\displaystyle \}}$ 的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作 ${\displaystyle \varnothing }$ ，是任意集合${\displaystyle X}$ 的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若${\displaystyle A,B,C}$ 是集合，则：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$ 

反对称性：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$ 且${\displaystyle B\subseteq A}$ 当且仅当${\displaystyle A=B}$ 

传递性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$ 且${\displaystyle B\subseteq C}$ 则${\displaystyle A\subseteq C}$ 

这个命题说明：对任意集合${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle S}$ 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若${\displaystyle A,B,C}$ 是集合${\displaystyle S}$ 的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$ （ ${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$ 由命题1给出）

存在并运算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$ 
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$ 且${\displaystyle B\subseteq C}$ 则${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$ 

存在交运算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$ 
• 若${\displaystyle C\subseteq A}$ 且${\displaystyle C\subseteq B}$ 则${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$ 

命题4:对任意两个集合${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ ，下列表述等价：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$ 
• ${\displaystyle A\cap B=A}$ 
• ${\displaystyle A\cup B=B}$ 
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle B\subseteq A'}$ 

这个命题说明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$ "，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

• 幂集：某集合的全部子集组成的集合。