当且仅当

标记

与此相对应的逻辑符号是${\displaystyle \leftrightarrow }$ 和${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。

证明

设${\displaystyle p}$ 与${\displaystyle q}$ 为两命题，在证明“当且仅当${\displaystyle p}$ 则${\displaystyle q}$ ”时，这相当于去同时证明陈述“如果${\displaystyle p}$ 成立，则${\displaystyle q}$ 成立”和“如果${\displaystyle q}$ 成立，则${\displaystyle p}$ 成立”。另外，也可以证明“如果${\displaystyle p}$ 成立，则${\displaystyle q}$ 成立”和“如果${\displaystyle p}$ 不成立，则${\displaystyle q}$ 不成立”，后者作为对偶，等价于“如果${\displaystyle q}$ 成立，则${\displaystyle p}$ 成立”。

有关英语缩写iff的开端

在出版物中，英语iff的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用^[1]。

简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：

1. 当冰淇淋是香草口味的，则小王会吃这个冰淇淋。

   这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王一定会吃这个冰淇淋。

2. 当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。

   这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王一定会吃这个冰淇淋；并且，如果小王吃冰淇淋，那么这个冰淇淋一定是香草口味的。

第1句指小王一定会吃香草口味的冰淇淋，但没有排除他会吃香草口味以外冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。

第2句指小王一定吃且只吃香草口味的冰淇淋，他不会吃其它口味的冰淇淋。

用“当且仅当”连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。

双条件句“当且仅当${\displaystyle p}$ 则${\displaystyle q}$ ”，是用${\displaystyle p}$ 和${\displaystyle q}$ 来陈述${\displaystyle p}$ 和${\displaystyle q}$ 所描述的事件状况之间的关系。

相对照的，“${\displaystyle p}$ 逻辑等价于${\displaystyle q}$ ”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。

这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“${\displaystyle p}$ 逻辑等价于${\displaystyle q}$ ”时，“当且仅当${\displaystyle p}$ 则${\displaystyle q}$ ”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：

• 当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。

很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。^[2]

在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：

• 当且仅当一个人是未婚且可结婚的男人，则他是单身男性。
• 当且仅当${\displaystyle x=1}$ ，则${\displaystyle x+1=2}$ 。
• 对于任意命题${\displaystyle p,q,r}$ ，当且仅当${\displaystyle (p\land q)\land r}$ ，则${\displaystyle p\land (q\land r)}$ 。

“当且仅当”在逻辑领域以外，在数学出版物或者普通的谈话中也会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。

• 充分必要条件
• 等价关系
• 等价符号