逻辑运算符

在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。又称逻辑操作符（Logical Operators）。

基本运算符

基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双条件”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。

注意，符号“与”（∧）和交集（∩），“或”（∨）和并集（∪）的相似性。这不是巧合：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。

这些连接符的真值表:

P Q ¬P P ∧ Q P ∨ Q P → Q P ↔ Q
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T

为了减少需要的括号的数量，有以下的优先规则：¬高于∧，∧高于∨，∨高于→。例如，P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的简便写法。

二元逻辑联结词表

下面是在输入P和Q上的16个二元布尔函数。

永假
符号 等价公式 真值表 文氏图
  P   ¬P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   0 
 




永真
符号 等价公式 真值表 文氏图
  P   ¬P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   1 
 




合取
符号 等价公式 真值表 文氏图
P   Q
P & Q
P · Q
P AND Q 		P  ¬Q
¬P   Q
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   1 
 




与非
符号 等价公式 真值表 文氏图
P ↑ Q
P | Q
P NAND Q 		P → ¬Q
¬P ← Q
¬P ∨ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   0 
 




非蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
P   Q
P   Q 		P & ¬Q
¬P ↓ Q
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   0 
 




蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
P → Q
P   Q 		P ↑ ¬Q
¬P ∨ Q
¬P ← ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   1 
 




命题P
符号 等价公式 真值表 文氏图
P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   1 
 




非P
符号 等价公式 真值表 文氏图
¬P
~P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   0 
 




反非蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
P   Q
P   Q 		P ↓ ¬Q
¬P & Q
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   0 
 




反蕴涵
符号 等价公式 真值表 文氏图
P   Q
P   Q 		P ∨ ¬Q
¬P ↑ Q
¬P → ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   1 
 




命题Q
符号 等价公式 真值表 文氏图
Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   1 
 




非Q
符号 等价公式 真值表 文氏图
¬Q
~Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   0 
 




异或
符号 等价公式 真值表 文氏图
P   Q
P   Q
P   Q
P XOR Q 		P ↔ ¬Q
¬P ↔ Q
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   0 
 




双条件
符号 等价公式 真值表 文氏图
P ↔ Q
P ≡ Q
P XNOR Q
P IFF Q 		P   ¬Q
¬P   Q
¬P ↔ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   1 
 




析取
符号 等价公式 真值表 文氏图
P ∨ Q
P ∨ Q
P OR Q 		P   ¬Q
¬P → Q
¬P ↑ ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   1 
 




或非
符号 等价公式 真值表 文氏图
P ↓ Q
P NOR Q 		P   ¬Q
¬P   Q
¬P ∧ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   0 
 




图示

真值表 哈斯图
input Ainput Boutput f(A,B)X and ¬XA and B¬A and BBA and ¬BAA xor BA or B¬A and ¬BA xnor B¬A¬A or B¬BA or ¬B¬A or ¬BX or ¬X 
X or ¬X¬A or ¬BA or ¬B¬A or BA or B¬B¬AA xor BA xnor BAB¬A and ¬BA and ¬B¬A and BA and BX and ¬X