矛盾

汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事：

白话文大意为：有一位卖盾牌和卖矛的楚国人，他赞誉自己卖的盾牌说：“我的盾牌坚固无比，任何物件都无法刺穿它。”又夸赞自己卖的矛说：“我的矛锋利无比，于任何物件都可以刺穿。”有人问他说：“用你的矛来试着刺你的盾，将会如何？”其人一句话都无法回应。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同时存在。

日本明治时代哲学家井上哲次郎首次翻译西文中的“contradiction”为“矛盾”。

逻辑学上，矛盾、自相矛盾或抵触（contradiction）被更加特殊化的定义为同时断言一个命题和它的否定。这个想法基于亚里士多德的无矛盾律，它声称“你不能同时声称某事物在同一方面既是又不是”。

当我们说命题S与P矛盾时，意思是二者相当于A和非A的关系，也就是S与P不能同时为真、亦不能同时为假。

举例来说：“所有学生都用功”和“有些学生不用功”就是在逻辑上矛盾；另一个例子是“死刑已被废除，严格禁止包括谋杀在内的任何罪行使用死刑；但为了受害者着想及平衡各方意见，若谋杀受害者家属强烈主张凶手必须以死谢罪，政府有义务协助受害者家属以最快的速度让罪犯接受死亡”，在其中“死刑已被废除”代表的就是“这个国家没有死刑”，而“若谋杀受害者家属强烈主张凶手必须以死谢罪，政府有义务协助受害者家属以最快的速度让罪犯接受死亡”则指向“这个国家有死刑”这点，显然一个国家或地区不可能同时有死刑又没有死刑，此种法律是自相矛盾。

习惯上说的矛盾其实是指逻辑学上的不一致，矛盾必然不一致，然而不一致不必然矛盾。

在演绎逻辑和数学中，矛盾通常作为有什么东西错误了的迹象，你需要折回你的推理的步骤并"检查你的前提"。这在数学中的反证法中发挥了巨大的作用：因为矛盾永远不能为真，所以它永远不能是有着全部为真的前提的有效论证的结论。要构造一个利用矛盾的证明，你需要从一组前提构造一个有效的论证，得出是逻辑矛盾的一个结论。因为结论为假，并且论证是有效的，唯一的可能性是一个或多个前提为假。在很多关键的数学证明中使用了这种方法，比如欧几里得对没有最大素数的证明，和康托尔对在0和1之间有不可数个实数的对角线证明。

矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在一阶谓词演算中从矛盾中可以推导出任何命题（也叫陈述）。换句话说，依据谓词演算，不管P和Q意味着什么，如果P和¬P都为真的，则Q为真。在这个事实的表达中，矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑爆炸"。

例如，下列论证是严格有效，就是说前提在逻辑上蕴涵结论：

1. 前提: 5既是偶数又是奇数。（就是在上述公式中的P ∧ ¬P）。
2. 结论：神存在。（就是Q）。

下面的论证也是有效的：

1. 前提: 5既是偶数又是奇数。（就是P ∧ ¬P）。
2. 结论：神不存在。（就是¬Q）。

注意这两个论证共有的前提是错误的；5是奇数而不是偶数。所以此等论证都不是可靠，这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。

可能大多数人认为这是怪异的，如果5既是偶数又是奇数，就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如 神的存在性的结论。更加怪异的是，这个悖论还蕴涵了，如果一个人有是矛盾的任何两个信仰，则这个人在逻辑上证实任何可想像到的信仰。

这个悖论的证明

即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的，它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。

第一个方法来自合取和蕴涵的真值表定义：

1. (P ∧ ¬P)为假。
2. 所以，(P ∧ ¬P) → Q为空虚真理。

第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷：

1. 假设P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出：
   1. P（合取除去）
   2. ¬P（合取除去）
   3. 假设¬Q。基于这个假定我们可以推导出：
      1. P (前面的结果)
   4. 所以¬Q → P（条件证明）
   5. ¬P → Q（前面一行的逆反命题）
   6. Q（肯定前件）
2. 所以 (P ∧ ¬P) → Q（条件证明）

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