等价关系

若集合${\displaystyle A}$ 上的二元关系${\displaystyle R}$ 满足以下条件：

1. 自反性：${\displaystyle \forall x\in A,~~xRx}$ 
2. 对称性：${\displaystyle \forall x,y\in A,~~xRy~~\implies ~~yRx}$ 
3. 传递性：${\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~(xRy~~\wedge ~~yRz)~~\implies ~~xRz}$ 

则称${\displaystyle R}$ 是一个定义在${\displaystyle A}$ 上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由${\displaystyle R}$ 改写为${\displaystyle \sim }$ 。

等价关系的例子

例如，设${\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,8\}}$ ，定义${\displaystyle A}$ 上的关系${\displaystyle R}$ 如下：

${\displaystyle xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}}$ 

其中${\displaystyle x\equiv y{\pmod {3}}}$ 叫做${\displaystyle x}$ 与${\displaystyle y}$ 模3 同余，即${\displaystyle x}$ 除以3的余数与${\displaystyle y}$ 除以3的余数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证${\displaystyle R}$ 为${\displaystyle A}$ 上的等价关系。

并非所有的二元关系都是等价关系。一个简单的反例是比较两个数中哪个较大：

• 没有自反性：任何一个数不能比自身为较大（${\displaystyle n\ngtr n}$ ）
• 没有对称性：如果${\displaystyle m>n}$ ，就肯定不能有${\displaystyle n>m}$ 

不是等价关系的关系的例子

• 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。

• Hazewinkel, Michiel (编), Equivalence relation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bogomolny, A., "Equivalence Relationship （页面存档备份，存于互联网档案馆）" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
• Equivalence relation at PlanetMath
• Binary matrices representing equivalence relations （页面存档备份，存于互联网档案馆） at OEIS.