共轭类

设${\displaystyle G}$ 为群。对于${\displaystyle G}$ 中共轭的两个元素${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ ，必存在${\displaystyle G}$ 中一个元素${\displaystyle g}$ ，满足

${\displaystyle gag^{-1}=b}$ 。

（在线性代数中，这叫做相似变换。）

很容易证明共轭是等价关系，因此将${\displaystyle G}$ 分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)}$ 和${\displaystyle \mathrm {Cl} (b)}$ 相等当且仅当${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 共轭，否则不相交。）包含元素${\displaystyle a}$ 属于${\displaystyle G}$ 的等价类是

${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{gag^{-1}:g\in G\}}$ 

并称为${\displaystyle a}$ 的共轭类。${\displaystyle G}$ 的类数是共轭类的个数。

对称群${\displaystyle S_{3}}$ ，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

• 恒等 (abc -> abc)表示为(1)
• 对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示为(23) (12) (13)
• 三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab)表示为(132) (123)

对称群${\displaystyle S_{4}}$ ，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

• 恒等
• 对换
• 三阶轮换
• 四阶轮换
• 双对换

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

• 在${\displaystyle n\times n}$ 矩阵，在同一个共轭类的矩阵称为相似矩阵。

• 单位元总是自成一类，也就是说${\displaystyle \mathrm {Cl} (e)=\{e\}}$ 。

• 若${\displaystyle G}$ 可交换，则${\displaystyle gag^{-1}=a}$ 对于所有${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle g}$ 属于${\displaystyle G}$ 成立；所以${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{a\}}$ 对于${\displaystyle a}$ 属于${\displaystyle G}$ 成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

• 若${\displaystyle G}$ 的两个元素${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的阶。更一般地讲，每个关于${\displaystyle a}$ 的命题可以转换成关于${\displaystyle b=gag^{-1}}$ 的一个命题，因为映射${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$ 是一个${\displaystyle G}$ 的自同构。

• ${\displaystyle G}$ 的一个元素${\displaystyle a}$ 位于${\displaystyle G}$ 的中心${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$ 当且仅当其共轭类只有一个元素，${\displaystyle a}$ 本身。更一般地讲，若${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(a)}$ 代表${\displaystyle G}$ 中${\displaystyle \{a\}}$ 的中心化子，也即，有所有满足${\displaystyle ga=ag}$ 的元素${\displaystyle g}$ 组成的子群，则指数${\displaystyle [G:\mathrm {C} _{G}(a)]}$ 等于${\displaystyle a}$ 的共轭类中元素的个数。

若G为有限群，则上节的内容，加上拉格朗日定理，可以得出如下结论：每个共轭类的元素个数整除G的阶。

进一步的有，对于任何群G，可以通过从G的每个元素个数大于1的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集S = {x_i}。则G是Z(G)和S的元素的共轭类Cl(x_i)的不交并集。由此可以写出重要的类方程：

|G| = |Z(G)| + ∑ _i [G:H _i ]

其中求和取遍对于每个S中的x_i的H_i = C_G(x_i)。注意[G : H_i]是共轭类i的元素个数，一个|G|的大于1的除数。如果|G|的除数已知，则该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

例子

考虑一个有限p-群G（也即，次数为pⁿ的群，其中p是一个素数而n > 0）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。

因为G的任意子群的次数必须整除G的次数，所以每个H_i也是某个幂p^{( k_i )}。但是类方程要求|G| = pⁿ = |Z(G)| + ∑_i (p^{( k_i )})。因此我们可以看出p必须整除|Z(G)|，所以|Z(G)| > 1。

更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg⁻¹。我们可以定义Cl(S)为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg⁻¹ = hSh⁻¹当且仅当gh ⁻¹属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

如果对于任意两个G中的元素g和x定义

g.x = gxg⁻¹

则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg⁻¹。

• 群
• 群作用
• 中心化子和正规化子

• Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X