相似矩阵

两个系数域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L的n×n的可逆矩阵P，使得：

${\displaystyle \!P^{-1}AP=B}$ 

这时，称矩阵A与B“相似”。B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。

相似变换是矩阵之间的一种等价关系，也就是说满足：

1. 反身性：任意矩阵都与其自身相似。
2. 对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3. 传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

矩阵间的相似关系与所在的域无关：设K是L的一个子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L上相似。这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。

如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个置换矩阵，那么就称 A和B“置换相似”。 如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称 A和B“酉相似”。谱定理证明了每个正规矩阵都酉相似于某个对角矩阵。

两个相似的矩阵有许多相同的性质：

• 两者的秩相等。
• 两者的行列式值相等。
• 两者的迹数相等。
• 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。
• 两者拥有同样的特征多项式。
• 两者拥有同样的初等因子。

这种现象的原因有两个：

• 两个相似的矩阵可以看做是同一个线性变换的“两面”，即在两个不同的基下的表现。
• 映射X ${\displaystyle \mapsto }$  P⁻¹XP是从n阶方阵射到n阶方阵的一个双射同构，因为P是可逆的。

因此，在给定了矩阵A后，只要能找到一个与之相似而又足够“简单”的“规范形式”B，那么对A的研究就可以转化为对更简单的矩阵B的研究。比如说A被称为可对角化的，如果它与一个对角矩阵相似。不是所有的矩阵都可以对角化，但至少在复数域（或任意的代数闭域）内，所有的矩阵都相似于一些被称为若尔当标准形的简单的矩阵。另一种标准形：弗罗贝尼乌斯标准形则在任意的域上都适用。只要查看A和B所对应的标准形是否一致，就能知道两者是否相似。

• 合同矩阵
• 正则形式
• 等价矩阵

• 相似矩阵
• 相似矩阵的特征值