逆矩阵

伴随矩阵法

如果矩阵${\displaystyle A}$ 可逆，则${\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}={\frac {A^{*}}{|A|}}}$ 其中${\displaystyle A^{*}=\mathrm {adj} (A)}$ 是${\displaystyle A}$ 的伴随矩阵，${\displaystyle |A|=\mathrm {det} (A)}$ 是${\displaystyle A}$ 的行列式。

注意：${\displaystyle A^{*}}$ 中元素的排列特点是${\displaystyle A^{*}}$ 的第${\displaystyle k}$ 列元素是${\displaystyle A}$ 的第${\displaystyle k}$ 行元素的代数余子式。要求得${\displaystyle A^{*}}$ 即为求解${\displaystyle A}$ 的余因子矩阵的转置矩阵。

初等变换法

如果矩阵${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 互逆，则${\displaystyle AB=BA=I}$ 。由条件${\displaystyle AB=BA}$ 以及矩阵乘法的定义可知，矩阵${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 都是方阵。再由条件${\displaystyle AB=I}$ 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是${\displaystyle n\times n}$ 方阵，且rank(A) = rank(B) = n.换而言之, ${\textstyle A}$ 与${\textstyle B}$ 均为满秩矩阵）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵${\displaystyle A}$ 施以初等行变换（初等列变换）就相当于在${\displaystyle A}$ 的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle I}$ 施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵${\displaystyle A}$ 被变为${\displaystyle I}$ 时，${\displaystyle I}$ 就被变为${\displaystyle A}$ 的逆阵${\displaystyle B}$ 。

1. ${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$ 
2. ${\displaystyle (\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}\times A^{-1}}$ 
3. ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ 
4. ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$ （${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ 为A的转置）
5. ${\displaystyle \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}$ （det为行列式）

广义逆阵（Generalized inverse）又称伪逆，是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔－彭若斯广义逆，它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

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