对角矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}}$ 

均为对角矩阵

加法

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}}$ 

乘法

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}}$ 

逆矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a_{1}^{-1}&&&\\&a_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{-1}\end{bmatrix}}}$  当且仅当 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$  均不为零。

• 对角矩阵是对称矩阵。
• 对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵。
• 单位矩阵 ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$  及零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵。
• 一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数量矩阵，可表示为单位矩阵及一个系数 ${\displaystyle \lambda }$  的乘积 ${\displaystyle \lambda \mathbf {I} _{n}}$ 。
• 一对角矩阵 ${\displaystyle {\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$  的特征值为 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ，其特征向量为单位向量 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ 。
• 一对角矩阵 ${\displaystyle {\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$  的行列式为其特征值的乘积，即 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}}$ 。
• 若对角矩阵主对角线上的元素都相等，且为一常数，则又称其为数量矩阵；单位矩阵和零矩阵可以被视作为特殊的数量矩阵。

${\displaystyle n}$ 阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

• ${\displaystyle n}$ 阶方阵存在${\displaystyle n}$ 个线性无关的特征向量
  • 推论：如果这个${\displaystyle n}$ 阶方阵有${\displaystyle n}$ 阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵
• 如果${\displaystyle n}$ 阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

• 三角矩阵
• 对角优势矩阵