正定矩阵

一个 ${\displaystyle n\times n}$  的实对称矩阵 ${\displaystyle M}$  是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ，都有 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0}$ 。其中 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}}$ 表示 ${\displaystyle \mathbf {z} }$  的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 ${\displaystyle n\times n}$  的埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$  是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ，都有 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$ 。其中 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}$ 表示 ${\displaystyle \mathbf {z} }$  的共轭转置。

这样的定义仰赖一个事实：对于任意的埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$  及复向量 ${\displaystyle \mathbf {z} }$  ，${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$  必定是实数。

对于 ${\displaystyle n\times n}$  的埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$ ，下列性质与“${\displaystyle M}$  为正定矩阵”等价：

1. ${\displaystyle M}$  的所有的特征值 ${\displaystyle \lambda _{i}}$  都是正的。
   根据谱定理，${\displaystyle M}$  与一个实对角矩阵 ${\displaystyle D}$  相似（也就是说 ${\displaystyle M=U^{-1}DU}$ ，其中 ${\displaystyle U}$  是酉矩阵，或者说 ${\displaystyle M}$  在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，${\displaystyle M}$ 是正定阵当且仅当相应的 ${\displaystyle D}$  的对角线上元素都是正的。 另外，也可以假设 ${\displaystyle \lambda _{i}}$  和 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$  是 ${\displaystyle M}$  的一组特征值与特征向量，根据定义 ${\displaystyle M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}$ ，从左侧同乘以 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}}$  得到：${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}$ 。因为 ${\displaystyle M}$  是正定矩阵，根据定义我们有 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} >0}$ 。移项整理后可以得到 ${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mathbf {v} ^{*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}}>0}$ 。注意因为特征向量 ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {0} }$ ，所以前述 ${\displaystyle \lambda _{i}}$  不会有无解的情形。
2. 半双线性形式 ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$  定义了一个 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 上的内积。实际上，所有 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 上的内积都可视为由某个正定矩阵通过此种方式得到。
3. ${\displaystyle M}$  是向量 ${\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}$  构成的格拉姆矩阵，其中 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 。更精确地说，${\displaystyle M=[m_{ij}]}$  定义为：${\displaystyle m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}}$ 。换句话说，${\displaystyle M}$  具有 ${\displaystyle A^{*}A}$  的形式，其中 ${\displaystyle A}$  不一定是方阵，但必须是单射的。
4. ${\displaystyle M}$  的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则（英语：Sylvester's criterion））。明确地说，就是考察 ${\displaystyle M}$  左上角大小 ${\displaystyle 1\times 1,\ldots ,n\times n}$  的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
   $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}}$$

    
5. 存在唯一的下三角矩阵 ${\displaystyle L}$ ，其主对角线上的元素全是正的，使得 ${\displaystyle M=LL^{*}}$ 。其中 ${\displaystyle L^{*}}$ 是 ${\displaystyle L}$  的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 改为 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ，并将“共轭转置”改为“转置”即可。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 ${\displaystyle \mathbb {K} }$  代表 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ，设 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  是 ${\displaystyle \mathbb {K} }$  上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$ 

是一个双线性映射，使得 ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$  总是 ${\displaystyle B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}$  的共轭。这样的一个映射 ${\displaystyle B}$  是正定的当且仅当对于 ${\displaystyle \mathbb {V} }$  中所有的非零向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ，都有 ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0}$ 。

与正定矩阵对应，一个 ${\displaystyle n\times n}$  的埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$  是负定矩阵（英语：negative-definite matrix）当且仅当对所有非零向量 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}$ （或 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ），都有 ${\displaystyle z^{*}Mz<0\,}$ 。

${\displaystyle M}$ 是半正定矩阵（英语：positive semi-definite matrix）当且仅当对于所有非零向量 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}$ （或 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ），都有 ${\displaystyle z^{*}Mz\geq 0}$ 。

${\displaystyle M}$ 是半负定矩阵（英语：negative semi-definite matrix）当且仅当对于所有非零向量 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}}$ （或 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ），都有 ${\displaystyle z^{*}Mz\leq 0}$ 。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英语：indefinite matrix）。

可以看出，上一节中正定矩阵的第一个等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 ${\displaystyle M}$  是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性独立的向量组成。对于任意矩阵 ${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A^{*}A}$ 必是半正定的，并有 ${\displaystyle \mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{*}A)}$ （两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 ${\displaystyle M=A^{*}A}$ ，这就是科列斯基分解。

一个埃尔米特矩阵 ${\displaystyle M}$  是负定矩阵当且仅当 ${\displaystyle M}$  的所有奇数阶顺序主子式小于 ${\displaystyle 0}$ ，所有偶数阶顺序主子式大于 ${\displaystyle 0}$ 。当 ${\displaystyle M}$  是负定矩阵时，${\displaystyle M}$  的逆矩阵也是负定的。

若 ${\displaystyle M}$  为半正定矩阵，可以记作 ${\displaystyle M\geq 0}$ 。如果${\displaystyle M}$ 是正定矩阵，可以记作 ${\displaystyle M>0}$ 。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，${\displaystyle M}$ 、${\displaystyle N}$ ，${\displaystyle M\geq N}$  当且仅当 ${\displaystyle M-N\geq 0}$ 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义${\displaystyle M>N}$ 。

一个实矩阵 ${\displaystyle M}$  可能满足对于所有的非零实向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ，${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}$ ，却不是对称矩阵。举例来说，矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}}$ 就满足这个条件。对于 ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$  并且 ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ ，${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0}$ 。

一般来说，一个实系数矩阵 ${\displaystyle M}$  满足对所有非零实向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ，${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}$ ，当且仅当对称矩阵 ${\displaystyle (M+M^{T})/2}$  是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能会不太一样。主要考虑如何扩展 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$  这一性质。要使得 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$  总为实数，矩阵 ${\displaystyle M}$  必须是埃尔米特矩阵。因此，若 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$  总是正实数，${\displaystyle M}$  必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$  扩展为 ${\displaystyle \Re (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )>0}$ ，则等价于 ${\displaystyle (M+M^{*})/2}$  为正定矩阵。

• 确定双线性形式
• 矩阵的平方根
• 舒尔补
• 正定核（英语：Positive-definite kernel）
• 正定函数
• 科列斯基分解
• 线性矩阵不等式
• 合同矩阵

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. 编辑
  • 正定矩阵
  • 关于对称矩阵的一些讨论