证明的方法基于线性空间的基和同构。
设 是一个有限维线性空间,其维度 。对一个从 射到 的线性变换 ,它的核 是 的一个子空间。设 是 的一组基( )。根据基扩充定理, 可以被扩充为 的一组基: 。除了 的 个向量以外,另外的 个向量 是一组线性无关的向量。设 是它们张成的子空间,那么 是子空间 与 的直和:
-
所以,按照直和的性质,有 ,并且这两个子空间的交集为 。同时, 都可以写成 的形式,其中 。考虑 限制在 上到 的线性变换 :
-
下证 是一个同构。首先由于 是线性映射,所以 是线性映射。只需证明它也是双射:
- 是一个单射,因为 , 。
- 是一个满射,因为 , 使得 ,而且 ,其中 。 于是 ,其中 ,所以 是一个满射。
既然 是一个 到 的同构,那么
-
- 综上所述,即有:
-
- 也就是:
- [1]:59