线性代数

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为${\displaystyle n}$ 的向量空间叫做${\displaystyle n}$ 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象${\displaystyle n}$ 维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是${\displaystyle n}$ 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国，美国，英国，法国，德国，西班牙，印度，澳大利亚），可以使用向量${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6},v_{7},v_{8})}$ 显示这些国家某一年各自的GNP。这里，每个国家的GNP都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。

线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。

我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。

线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

向量空间

向量空间是线性代数的主要结构。域${\displaystyle F}$ 上的向量空间是集合${\displaystyle V}$ 再加上两个二元运算。${\displaystyle V}$ 的元素叫做向量而${\displaystyle F}$ 的元素叫做标量。第一个运算，向量加法，取任意两个向量${\displaystyle v}$ 和${\displaystyle w}$ ，然后输出第三个向量${\displaystyle v+w}$ 。第二个运算，向量乘法，取任意标量${\displaystyle a}$ 和任意向量${\displaystyle v}$ 并输出新向量${\displaystyle av}$ 。从第一个例子来看，其中乘法是以标量${\displaystyle a}$ 将向量${\displaystyle v}$ 缩放后完成的，这种乘法叫做${\displaystyle v}$ 数乘${\displaystyle a}$ 。向量空间内的加法和乘法运算满足下列公理。^[7]在下表中，令${\displaystyle u,v}$ 和${\displaystyle w}$ 为${\displaystyle V}$ 中的任意向量，${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 为${\displaystyle F}$ 中的标量。

一般向量空间${\displaystyle V}$ 可能有不同性质的元素，例如，函数、多项式、向量或矩阵。线性代数关注的是所有向量空间的共同性质。

线性变换

子空间

矩阵理论

矩阵是一个矩形的数学方阵。一个方阵可看作两个矢量空间的线性变阵，故矩阵理论可当作线性代数的一个分枝。

在图论，每一个加上标示图对应唯一的非负矩阵，称为邻接矩阵。

排列矩阵是排列的矩阵表达式，在组合数学极为重要。

正定矩阵及半正定矩阵可用来寻找实数函数的极大值或极小值。

任意环矩阵亦非常重要。举例说，多项式环的矩阵用于控制理论。

另外，不同的矩阵环经常是提供数学上反例的素材。

特征值和特征向量

一般情况下，线性变换可能相当复杂。一些低维的例子，让我们领会不同的类型。一般的${\displaystyle n}$ 维变换${\displaystyle T}$ 的一个技巧是找到在${\displaystyle T}$ 下的不变集——特征线。如果${\displaystyle v}$ 是一个非零向量，使得${\displaystyle Tv}$ 为${\displaystyle v}$ 的标量倍，那么通过0和${\displaystyle v}$ 的直线就是在${\displaystyle T}$ 下的不变集，而${\displaystyle v}$ 被称为特征向量。使得${\displaystyle Tv-\lambda v}$ 的标量${\displaystyle \lambda }$ 叫做${\displaystyle T}$ 的特征值。

要求一个特征向量或特征值，我们注意到

${\displaystyle Tv-\lambda v=(T-\lambda \,{\text{I}})v=0,}$ 

其中${\displaystyle I}$ 是单位矩阵。为使该方程存在非平凡解，${\displaystyle \det \left(T-\lambda I\right)=0}$ 。行列式是一个多项式，所以在域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内不保证存在特征值。

内积空间

• 每一个线性空间都有一个基。^[8]
• 对一个n阶方阵${\displaystyle A}$ ，如果存在一个${\displaystyle n}$ 阶方阵${\displaystyle B}$ 使${\displaystyle AB=BA=I}$ （I是单位矩阵），则${\displaystyle A}$ 为非奇异方阵^[9]。
• 一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
• 一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
• 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
• 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

线性代数是一个成功的理论，其方法已被应用于数学的其他分支。模论就是将线性代数中的标量的域用环替代，并进行研究，像线性无关、线性生成空间、基底、秩等概念仍然可以适用。不过许多线性代数中的定理在模论中不成立，例如不是所有的模都有基底（有基底的模称为自由模），自由模的秩不唯一，不是所有模中的线性无关的子集都可以延伸成为基底，也不是所有模生成空间的子集都包括基底。

多重线性代数推广线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在向量的概念上，发展向量空间的理论。在应用上，出现许多类型的张量。

在算子的谱理论中，通过数学分析，可以控制无限维矩阵。泛函分析混合线性代数和数学分析中的方式，研究许多不同函数空间，例如Lp空间。

• 数值线性代数
• 特征向量
• 基础矩阵
• 线性回归
• 单纯形法
• 线性规划
• 变换矩阵

在线资源

• 朝阳科技大学线性代数讲义 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（繁体中文）
• 同济大学线性代数精品课程（简体中文）
• MIT Linear Algebra Video Lectures （页面存档备份，存于互联网档案馆）, a series of 34 recorded lectures by professor Gilbert Strang (Spring 2010)（英文）
• Linear Algebra Toolkit （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Linear Algebra Workbench （页面存档备份，存于互联网档案馆）: multiply and invert matrices, solve systems, eigenvalues etc.
• Hazewinkel, Michiel (编), Linear algebra, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Linear Algebra （页面存档备份，存于互联网档案馆） on MathWorld.
• Linear Algebra overview （页面存档备份，存于互联网档案馆） and notation summary （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath.
• Matrix and Linear Algebra Terms （页面存档备份，存于互联网档案馆） on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Linear Algebra by Elmer G. Wiens. Interactive web pages for vectors, matrices, linear equations, etc.
• Linear Algebra Solved Problems: Interactive forums for discussion of linear algebra problems, from the lowest up to the hardest level (Putnam).
• Linear Algebra for Informatics. José Figueroa-O'Farrill, University of Edinburgh
• Essence of linear algebra （页面存档备份，存于互联网档案馆），3Blue1Brown的关于线性代数基础的视频演示，重点介绍向量、矩阵及线性代数理解方面的总结。

在线书籍

• Linear Algebra by Jim Hefferon （页面存档备份，存于互联网档案馆）: A free textbook with exercises and a solutions guide written by a professor at Saint Michael's College.（英文）
• Online Notes / Linear Algebra Paul Dawkins, Lamar University（英文）
• Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra textbook with solutions （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
• Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）