超平面

在数学中，超平面（Hyperplane）是n维欧氏空间中，余维度为1的子空间^[1]。即超平面是n维空间中的n-1维的子空间。它是平面中的直线、空间中的平面之推广。

设 ${\displaystyle F}$ 为域（为初等起见，可考虑 ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$）。n 维空间 ${\displaystyle F^{n}}$ 中的超平面是由方程

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}$

定义的子集，其中 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in F}$ 是不全为零的常数。

在线性代数的脉络下，${\displaystyle F}$-向量空间 ${\displaystyle V}$ 中的超平面是指形如

${\displaystyle \{v\in V:f(v)=0\}}$

的子空间，其中 ${\displaystyle f:V\to F}$ 是任一非零的线性映射。

在射影几何中，同样可定义射影空间 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 中的超平面。在齐次坐标 ${\displaystyle (x_{0}:\cdots :x_{n})}$ 下，超平面可由以下方程定义

${\displaystyle a_{0}x_{0}+\cdots +a_{n}x_{n}=0}$

其中 ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ 是不全为零的常数。