对偶空间

设${\displaystyle V}$ 为 在域${\displaystyle F}$ 上的向量空间，定义其对偶空间${\displaystyle V^{*}}$ 为由${\displaystyle V}$ 到${\displaystyle F}$ 的所有线性函数的集合。 即是${\displaystyle V}$ 的标量线性变换。${\displaystyle V^{*}}$ 本身是${\displaystyle F}$ 的向量空间，并且对所有${\displaystyle V^{*}}$ 中的${\displaystyle \phi }$ 及${\displaystyle \varphi }$ 、所有${\displaystyle F}$ 中的${\displaystyle a}$ 、所有${\displaystyle V}$ 中的${\displaystyle x}$ 满足以下加法及标量乘法：

${\displaystyle (\phi +\varphi )(x)=\phi (x)+\varphi (x)\,}$ 

${\displaystyle (a\phi )(x)=a\phi (x)\,}$ 

在张量的语言中，${\displaystyle V}$ 的元素被称为反变或逆变（contravariant）向量，而${\displaystyle V^{*}}$ 的元素被称为共变或协变（covariant）向量、“余向量”或“同向量”（co-vectors），“线性型”或“1-形式”（one-form）。

例子

如果${\displaystyle V}$ 是有限维的，${\displaystyle V^{*}}$ 的维度和V的维度便相等； 如果${\displaystyle \left\{e_{1},...,e_{n}\right\}}$ 是${\displaystyle V}$ 的基，${\displaystyle V^{*}}$ 便应该有相对基${\displaystyle \left\{e^{1},...,e^{n}\right\}}$ ，记作：

${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$ 

如果${\displaystyle V}$ 是平面几何向量的空间，${\displaystyle V^{*}}$ 便是一组组的平行线。我们能从平行线应用到任何向量产生一个标量。

如果${\displaystyle V}$ 是无限维度，${\displaystyle e^{i}}$ 不能产生${\displaystyle V^{*}}$ 的基；而${\displaystyle V^{*}}$ 的维度比${\displaystyle V}$ 的大。

例如空间${\displaystyle R^{(\omega )}}$ 的元素是实数列，其拥有很多非零数字。${\displaystyle R^{\omega }}$ 的双对空间是所有实数数列的空间。这些数列${\displaystyle (a_{n})}$ 被用于元素${\displaystyle (x_{n})}$ 而产生${\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n}}$ 。

线性映射的转置

设${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ 是线性映射。 ${\displaystyle f}$ 的转置${\displaystyle {}^{t}\!f:W^{*}\rightarrow V^{*}}$ 定义为

${\displaystyle {}^{t}\!f(\varphi )=\varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{*}}$ 

对任何向量空间${\displaystyle V,W}$ ，定义${\displaystyle L(V,W)}$ 为所有从${\displaystyle V}$ 到${\displaystyle W}$ 的线性映射组成的向量空间。${\displaystyle f|\rightarrow {}^{t}\!f}$ 产生从${\displaystyle L(V,W)}$ 至${\displaystyle L(W^{*},V^{*})}$ 的单射；这是个同构当且仅当${\displaystyle W}$ 是有限维的。

若 线性映射f表示作其对${\displaystyle V,W}$ 的基之矩阵${\displaystyle A}$  ,则${\displaystyle {}^{t}\!f}$ 表示作其对${\displaystyle V^{*},W^{*}}$ 的对偶基之转置矩阵。 若${\displaystyle g:W\rightarrow X}$ 是另一线性映射，则${\displaystyle {}^{t}\!\left(g\circ f\right)={}^{t}\!f\circ {}^{t}\!g}$ 。

在范畴论的语言里，为任何向量空间取对偶及为任何线性映射取转置都是向量空间范畴的逆变函子。

双线性乘积及对偶空间

正如所见，如果${\displaystyle V}$ 拥有有限维度，${\displaystyle V}$ 跟${\displaystyle V^{*}}$ 是同构的，但是该同构并不自然；它是依赖于我们开始所用的${\displaystyle V}$ 的基。事实上，任意同构${\displaystyle \phi =\left(V\rightarrow V^{*}\right)}$ 在${\displaystyle V}$ 上定义了一个唯一的非退化的双线性型：

${\displaystyle \langle v,w\rangle =(\Phi (v))(w)\,}$ 

相反地从每个在有限维空间中的非退化的双线性积可以产生由${\displaystyle V}$ 映射到${\displaystyle V^{*}}$ 的同构。

到双对偶空间内的单射

存在一个由${\displaystyle V}$ 到其双对偶${\displaystyle V^{**}}$ 的自然映射${\displaystyle \psi }$ ，定义为

${\displaystyle \left(\psi (v)\right)(\varphi )=\varphi (v)\forall v\in V,\varphi \in V^{*}}$ 

${\displaystyle \psi }$ 常是单射；当且仅当${\displaystyle V}$ 的维数有限时，${\displaystyle \psi }$ 是个同构。

处理拓扑向量空间时，我们一般仅对该空间射到其基域的连续线性泛函感兴趣。由此导致连续对偶空间之概念，此乃其代数对偶空间之一子空间。向量空间${\displaystyle V}$ 之连续对偶记作${\displaystyle V}$ ′。此脉络下可迳称连续对偶为对偶。

线性赋范向量空间${\displaystyle V}$ （如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间）之连续对偶${\displaystyle V}$ 产生一线性赋范向量空间。对一${\displaystyle V}$ 上之连续线性泛函，其范数${\displaystyle \left\Vert \varphi \right\Vert }$ 定义为

${\displaystyle \|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}}$ 

此法变一连续对偶为一线性赋范向量空间，实为巴拿赫空间。

例子

对任意有限维之线性赋范向量空间或拓扑向量空间，正如欧几里得空间，其连续与代数对偶不二。

令${\displaystyle 1<p<\infty }$ 为实数，并考虑所有序列${\displaystyle a=(a_{n})}$ 构成之巴拿赫空间l ^p，使其范数

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ 

有限。以${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ 定义${\displaystyle q}$ ，${\displaystyle I^{p}}$ 其连续对偶遂自然等同于${\displaystyle I^{q}}$ ：给定一元素${\displaystyle \varphi \in (I^{p})}$ ，${\displaystyle I^{q}}$ 中相应元素为序列 ${\displaystyle \left(\varphi (e_{n})\right)}$ ，其中${\displaystyle e_{n}}$ 谓第${\displaystyle n}$ 项为1且余项皆0之序列。反之，给定一元素${\displaystyle a=(a_{n})\in I^{q}}$ ，${\displaystyle I^{p}}$ 上相应之连续线性泛函${\displaystyle \varphi }$ 定为${\displaystyle \varphi (a)=\sum _{n}a_{n}x_{n}}$ （对一切${\displaystyle a=(a_{n})\in I^{p}}$ ，见Hölder不等式）。

准此，${\displaystyle I^{1}}$ 之连续对偶亦自然同构于${\displaystyle I^{\infty }}$ 。再者，巴拿赫空间${\displaystyle c}$ （赋以上确界范数之全体收敛序列）及${\displaystyle c_{0}}$ （${\displaystyle c}$ 中收敛至零者）之连续对偶皆自然同构于${\displaystyle I^{1}}$ 。

进一步的性质

若${\displaystyle V}$ 为希尔伯特空间，则其连续对偶亦然，并反同构于${\displaystyle V}$ ；此即是里斯表示定理的陈述，同时也启发了量子力学之数学描述时所用的狄拉克符号。

类似双重代数对偶，对连续线性算子亦有连续单射${\displaystyle \psi :V\rightarrow V''}$ ，此映射实为等距同构，即 ${\displaystyle \left\Vert \psi (x)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert }$ 对一切${\displaystyle V}$ 中${\displaystyle x}$ 皆真。使${\displaystyle \psi }$ 为双射之空间称自反空间。

连续对偶赋${\displaystyle V}$ 以一新拓扑，称之为弱拓扑。

若V之对偶可分，则${\displaystyle V}$ 亦可分。反之则不然：考虑空间${\displaystyle I_{1}}$ ，则其对偶${\displaystyle I\infty }$ 不可分。

• Bourbaki, Nicolas. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9. 
• Paul Halmos. Finite dimensional vector spaces. Springer. 1974. ISBN 0387900934. 
• Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365.