自反空间
自反空间是泛函分析中的概念。如果一个巴拿赫空间(或更一般地,一个局部凸拓扑向量空间)的连续对偶空间的连续对偶空间“是”其自身,就称这个空间为自反空间。其中的“是”表示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的。自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画。
详细定义
设 为标量域 ( 或 )上的赋范向量空间,其中的范数记作 。考虑它的对偶赋范空间 。依定义, 是由所有从 射到标量域 上的连续线性泛函 构成的空间(也称为连续对偶空间),装备了对偶范数 :
对偶空间 因此也是赋范空间(可以证明是巴拿赫空间),而它的对偶赋范空间 则称为元空间 的二次对偶空间(或称双对偶空间)。二次对偶空间由所有从 射到标量域 上的连续线性泛函 构成的赋范空间,其中的范数 是 的对偶范数。空间 中的任意向量 都可以诱导一个标量函数 ,由以下的方法定义:
这个 是一个从 射到标量域 上的连续线性泛函,所以 。因而可以定义一个映射:
这个映射称作“赋值映射”,是一个线性映射。根据哈恩-巴拿赫定理,映射 是单射,并且保持范数:
这说明,映射 将空间 等距地映射到其在 中的像: 上。而映射的像 不一定是 的全部,有可能只是 的一个拓扑子空间。而空间 被称为自反空间,如果它满足以下几个等价条件中的一个:
自反空间必然是巴拿赫空间,因为它和自身的二次对偶空间同构,而后者必然是巴拿赫空间[3]:49。
自反空间通过赋值映射与其二次对偶空间等距同构。然而也存在这样的巴拿赫空间 ,它与自身的二次对偶空间通过另外的方式等距同构(在另外的范数下),但如果考察赋值映射 ,则它只将元空间 和它的二次对偶空间的一个子空间进行等距同构。这样的空间称为准自反空间[4][1]:15[2]:130。如果赋值映射 将 同构到它的二次对偶空间的某个子空间,而这个子空间的余维数为d,则称元空间 为d阶准自反空间。
例子
- 每个有限维赋范向量空间都是自反空间。这是因为有限维赋范向量空间的对偶空间的维数等于元空间(因此二次对偶空间的维数也等于元空间)。因此,如果考虑赋值映射 ,根据秩-零化度定理, 是同构。
- 考虑由所有极限为零的实数列 构成的向量空间 ,并考虑其上的范数:
赋范向量空间 不是自反空间[3]:49[2]:130。由以下提到的基本性质可以推出,序列空间 和 也不是自反空间。因为 是 的对偶空间, 是 的对偶空间。
性质
巴拿赫空间
参见
参考来源
- ^ 1.0 1.1 N. L. Carothers. A Short Course on Banach Space Theory. Cambridge University Press. 2005. ISBN 9780521603720 (英语).
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Marián Fabian. Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis. Springer. 2011. ISBN 9781441975157 (英语).
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Bernard Beauzamy. Introduction to Banach spaces and their geometry. Elsevier. 2011. ISBN 9780080871790 (英语).
- ^ R. C. James. A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1951, 37: 174–177 (英语).
- ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 Corneliu Constantinescu. Banach Spaces. Elsevier. 2001. ISBN 9780080528373 (英语).