哈恩－巴拿赫定理

定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量域${\displaystyle \mathbb {K} }$ （实数域或复数域）上的一个向量空间${\displaystyle V}$ ，一个函数${\displaystyle {\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R} }$ 称为次线性的，如果：

${\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad \forall a,b\in \mathbb {K} .}$ 

可以很容易证明，${\displaystyle V}$ 上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。

哈恩－巴拿赫定理说明，如果${\displaystyle {\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R} }$ 是一个次线性函数，${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {K} }$ 是${\displaystyle V}$ 的子空间${\displaystyle U}$ 上的一个线性泛函，满足：

${\displaystyle |\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U}$ 

那么存在φ到整个空间${\displaystyle V}$ 的一个线性扩张${\displaystyle \psi :V\rightarrow \mathbb {K} }$ ，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得：

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U}$ 

以及：

${\displaystyle |\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.}$ 

扩张ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间${\displaystyle V}$ 的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。

我们可以把${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ 的次线性条件稍微减弱，只需要：

${\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in \mathbb {R} }$ 

根据（Reed and Simon, 1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。

这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”：

• 如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是封闭的），且φ : U → K是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ : V → K，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射的范数的讨论，参见巴拿赫空间）。也就是说，在赋范向量空间的范畴中，空间K是一个内射对象。
• 如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是封闭的），且z是V的一个元素，不在U的闭包内，那么存在一个连续线性映射ψ : V → K，对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。

哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式，称为哈恩-巴拿赫分离定理。^[1][2]它在凸几何中有许多用途。^[3]

定理：设${\displaystyle V}$ 为 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ 或${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上的一个拓扑向量空间，${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$  是 ${\displaystyle V}$ 的非空凸子集。假设${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ 。那么：

1. 如果${\displaystyle A}$ 是开集，那么存在一个连续线性映射${\displaystyle \lambda \colon V\to \mathbb {K} }$ 和 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ，使得对于所有的${\displaystyle a\in A}$ 和${\displaystyle b\in B}$ ，都有 ${\displaystyle \operatorname {Re} \,\lambda (a)<t\leq \operatorname {Re} \,\lambda (b)}$ 。
2. 如果${\displaystyle V}$  是局部凸的，${\displaystyle A}$  是紧集，且${\displaystyle B}$  是闭集，那么存在一个连续线性映射 ${\displaystyle \lambda \colon V\to \mathbb {K} }$ 和 ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ ，使得对于所有的${\displaystyle a\in A}$ 和${\displaystyle b\in B}$ ，都有 ${\displaystyle \operatorname {Re} \,\lambda (a)<t<s<\operatorname {Re} \,\lambda (b)}$ 。

前面已经提到，从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。^[4]对于可分巴拿赫空间，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL₀——一个二阶算术的弱子系统推出。^[5]

• M·里斯扩张定理
• 自反空间

1. ^ Klaus Thomsen, 哈恩-巴拿赫分离定理 （页面存档备份，存于互联网档案馆），Aarhus University, 高等分析讲座 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. ^ Gabriel Nagy, 实分析 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 讲座 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
3. ^ R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.
4. ^ D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set （页面存档备份，存于互联网档案馆），"Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19.
5. ^ D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. Source of citation （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

• Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) Pages 193-211.

• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.