佐恩引理

佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环${\displaystyle R}$ 必然有极大理想。用${\displaystyle P}$ 来表示${\displaystyle R}$ 的所有真理想（即${\displaystyle R}$ 的所有双边理想，且该理想是${\displaystyle R}$ 的真子集）。在${\displaystyle P}$ 中引入一个偏序，定义为集合的包含关系，那么${\displaystyle P}$ 中必然有一个极大元素，并且这个元素是${\displaystyle R}$ 的真子集，从而${\displaystyle R}$ 有一个极大理想。

为了应用佐恩引理，需要证明${\displaystyle P}$ 的任何一个全序子集${\displaystyle T}$ 都有一个上界，即存在一个理想${\displaystyle I}$ 满足${\displaystyle I\subsetneq R}$ 并且${\displaystyle I}$ 比${\displaystyle T}$ 中任何一个元素都大。现取${\displaystyle I}$ 为${\displaystyle T}$ 中所有理想的并。可以证明，${\displaystyle I}$ 是一个理想：如果${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 是${\displaystyle I}$ 中的两个元素，那么必然存在${\displaystyle T}$ 中两个理想${\displaystyle J,K\in T}$ 满足${\displaystyle a\in J,b\in K}$ 。注意${\displaystyle T}$ 是一个全序集，所以必然有${\displaystyle J\subset K}$ 或者${\displaystyle K\subset J}$ ，从而有${\displaystyle a,b\in J}$ 或${\displaystyle a,b\in K}$ 。无论是哪种情况，均有${\displaystyle a+b\in I}$ 。而且，对于任何${\displaystyle r\in R,a\in I}$ 都可以证明${\displaystyle ar,ra\in I}$ 。由此，${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle R}$ 的一个理想。

现在考虑证明的核心部分：利用${\displaystyle I=R}$ 充要于${\displaystyle 1\in I}$ ，可以证明${\displaystyle I}$ 一定是${\displaystyle R}$ 的真子集。因为如果${\displaystyle 1\in I}$ ，那么必然有某个${\displaystyle J\in T}$ 满足${\displaystyle 1\in J}$ ，这意味着${\displaystyle J=R}$ 。但${\displaystyle R\notin P}$ ，从而${\displaystyle R\notin T}$ ，矛盾。

这样，利用佐恩引理，${\displaystyle P}$ 必然包含一个极大元，而这个元素就是${\displaystyle R}$ 的一个极大理想。

注意这个结论只在${\displaystyle R}$ 是单位环的时候成立，在${\displaystyle R}$ 不是单位环的情形下，一般而言这个结论是不成立的。

假设佐恩引理不成立，那么存在一个非空的偏序集${\displaystyle (P,\leq )}$ ，使得它的任何一个全序子集都有上界，但${\displaystyle P}$ 中任何元素都不是极大元素。然后，对于任何一个全序子集${\displaystyle T}$ ，可以定义一个相对应的元素${\displaystyle b(T)}$ ，使其严格大于${\displaystyle T}$ 的任意元素，因为${\displaystyle T}$ 有一个上界，${\displaystyle P}$ 中又必然存在一个元素严格大于这个上界。为了确实地定义函数${\displaystyle b}$ ，我们需要用到选择公理。

利用函数${\displaystyle b}$ ，可以构造${\displaystyle P}$ 的一个全序子集${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\dots }$ ，这里作为下标的指标集不仅可以是自然数，也可以是序数。事实上，所有序数组成一个真类，粗略地说，可以认为序数的数目大于任何集合的基数，${\displaystyle P}$ 也不例外。所以这个序列终会穷尽，这样就导出了矛盾。

上述的序列可以利用超限归纳法构造：${\displaystyle a_{0}}$ 可以选择为${\displaystyle P}$ 中任意元素，而对于任意一个序数${\displaystyle w}$ ，定义${\displaystyle a_{w}=b(\{a_{v}\mid v<w\})}$ ，注意${\displaystyle a_{v}}$ 是全序的，所以${\displaystyle a_{w}}$ 的定义是合理的。

事实上这个证明的结论略强于佐恩引理：

如果${\displaystyle P}$ 是一个偏序集，并且它的任何一个良序子集都有上界，那么对于${\displaystyle P}$ 的任意元素${\displaystyle x}$ 而言，${\displaystyle P}$ 中有一个大于等于${\displaystyle x}$ 的极大元。换言之，存在一个可以与${\displaystyle x}$ 比较的极大元。

我们也可以直接应用选择公理证明佐恩引理：

根据选择公理，对于一个偏序集${\displaystyle P}$ 的所有非空子集${\displaystyle X}$ 在存在一个选择函数${\displaystyle f}$ 使得${\displaystyle f(X)\in X}$ 。从${\displaystyle P}$ 本身开始：考虑${\displaystyle p_{0}=f(P)}$ ，如果${\displaystyle p_{0}}$ 是极大元素则终止，否则构造${\displaystyle p_{1}=f(X)}$ ，这里${\displaystyle X=\{x\in P|p_{0}<x\}}$ ，如果${\displaystyle p_{1}}$ 是极大元素则终止，否则用相同的技术构造${\displaystyle p_{2}}$ 。

于是我们获得了${\displaystyle P}$ 一个全序子集:

${\displaystyle p_{0}<p_{1}<p_{2}<...<p_{\omega }<\ldots }$ 

根据假设上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素则终止，否则继续上述步骤，最终总能够穷尽${\displaystyle P}$ 

不过需要说明的是上述证明并没有阐明为何最终能够穷尽${\displaystyle P}$ ，是一个不够严格的证明。见于 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一书。

佐恩引理在1922年首先被库拉托夫斯基所发现，1935年佐恩亦独立地发现此结论。

• 集合
• 选择公理
• 良序定理