超限归纳法

假设只要对于所有的${\displaystyle \beta <\alpha }$ ，${\displaystyle P(\beta )}$ 为真，则${\displaystyle P(\alpha )}$ 也为真。那么超限归纳告诉我们${\displaystyle P}$ 对于所有序数为真。

就是说，如果${\displaystyle P(\alpha )}$ 为真只要${\displaystyle P(\beta )}$ 对于所有${\displaystyle \beta <\alpha }$ 为真，则${\displaystyle P(\alpha )}$ 对于所有${\displaystyle \alpha }$ 为真。或者更实用的说：若要证明所有序数${\displaystyle \alpha }$ 都符合性质${\displaystyle P}$ ，你可以假定它对于所有更小的${\displaystyle \beta <\alpha }$ 已经是成立的。

通常证明被分为三种情况：

• 零情况： 证明${\displaystyle P(0)}$ 为真。

• 后继情况： 证明对于任何后继序数${\displaystyle \beta +1}$ ， ${\displaystyle P(\beta +1)}$ 得出自${\displaystyle P(\beta )}$ （如果需要的话，也假定对于所有 ${\displaystyle \alpha <\beta }$  有${\displaystyle P(\alpha )}$ ）。

• 极限情况： 证明对于任何极限序数${\displaystyle \lambda }$ ，${\displaystyle P(\lambda )}$ 得出自 [${\displaystyle P(\alpha )}$ 对于所有${\displaystyle \alpha <\lambda }$ ]。

留意，以上三种情况(证明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式来说不用分开考虑它们，但在实践时，因为它们的证明过程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情况下，“零情况”会被视为一种“极限情况”，因此可以使用极限序数来证明。

超限递归是一种构造或定义某种对象的方法，它与超限归纳的概念密切相关。例如，可以定义以序数为下标的集合序列 A_α ，只要指定三个事项：

• ${\displaystyle A_{0}}$ 是什么
• 如何确定${\displaystyle A_{\alpha +1}}$ 自${\displaystyle A_{\alpha }}$ （又或者是从${\displaystyle A_{0}}$ 到${\displaystyle A_{\alpha }}$ 的部分）
• 对于极限序数${\displaystyle \lambda }$ ，如何确定${\displaystyle A_{\lambda }}$ 自${\displaystyle A_{\alpha }}$ 的对于${\displaystyle \alpha <\lambda }$ 的序列。

更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类${\displaystyle \mathrm {G_{1}} }$ ,${\displaystyle \mathrm {G_{2}} }$ , ${\displaystyle \mathrm {G_{3}} }$ ，存在一个唯一的超限序列${\displaystyle \mathrm {F} }$ 带有${\displaystyle \mathrm {dom} (\mathrm {F} )=Ord}$ （${\displaystyle Ord}$  是所有序数的真类），使得

• ${\displaystyle \mathrm {F} (0)=\mathrm {G_{1}} (\varnothing )}$ 
• ${\displaystyle \mathrm {F} (\alpha +1)=\mathrm {G_{2}} (\mathrm {F} (\alpha ))}$ ，对于所有 ${\displaystyle \alpha \in Ord}$ 
• F(${\displaystyle \alpha }$ ) = G₃(F ${\displaystyle \mathrm {F} (\alpha )=\mathrm {G_{3}} (\mathrm {F} \upharpoonright \alpha )}$ )，对于所有极限序数 ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ 。这里的${\displaystyle \mathrm {F} \upharpoonright \alpha }$ 是指${\displaystyle \mathrm {F} }$ 在 ${\displaystyle \{\beta \in Ord:\beta <\alpha \}}$ 上的限制。

注意我们要求${\displaystyle \mathrm {G_{1}} }$ ,${\displaystyle \mathrm {G_{2}} }$ , ${\displaystyle \mathrm {G_{3}} }$ 的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。

更一般的说，你可以在任何良基关系${\displaystyle R}$ 上通过超限递归定义对象。（${\displaystyle R}$ 甚至不需要是集合；它可以是真类，只要它是类似集合的关系便可，也就是说：对于任何 ${\displaystyle x}$ ，使得${\displaystyle yRx}$ 的所有${\displaystyle y}$ 的搜集必定是集合。）

有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其实超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合，使其适用超限归纳法。

• 数学归纳法
• 结构归纳法
• ε归纳法
• 首个不可数序数