首个不可数序数
在数学中,首个不可数序数,传统记之为ω1(或有时为Ω),是一个最小的序数,而其于被考虑为集合时为不可数。它是所有可数序数的最小上界。ω1 的所有元素,皆为可数序数,纵使它们的数目共有不可数多个。
与任何序数相像(冯·诺伊曼的方法),ω1是一个良序集合,以集合从属性("∈")作为序的关系。ω1是一个极限序数,意即并不存在一个α使得α + 1 = ω1。
集合ω1的势,是第一个不可数基数——ℵ1阿列夫数1号。是故ω1乃是ℵ1的起始序数。而且,在大部分的构造中,ω1 与 ℵ1 是同一个集合(见冯·诺伊曼基数指派)。推而广之,若α为任意序数,我们定义ωα 为基数ℵα的起始序数。
拓扑性质
任一序数上都可定义序拓扑(即以开区间组成的集族为基的拓扑),故可视为一个拓扑空间。视 ω1 为拓扑空间时,通常记为 [0,ω1) ,以强调其为所有小于 ω1 的序数组成的空间。
[0,ω1) 中的每个递增 ω-序列都收敛到某个在 [0,ω1) 中的极限,因为由可数序数组成的可数集的并(亦即序列的上确界)也是个可数序数。
拓扑空间 [0,ω1) 是序列紧,但不是紧的。于是,无法将之度量化。不过,其为可数紧的,故不是林德勒夫空间。由可数性公理观之, [0,ω1) 第一可数,但不可分,也不第二可数。
参见
参考文献
- Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).