哈特格斯数

由集合论的一些基本定理可以很容易证明哈特格斯数的存在：

令

${\displaystyle \alpha =\{\beta \in \mathbf {Ord} |\exists i:\beta \hookrightarrow X\}}$ 

为所有满足“存在从该序数${\displaystyle \beta }$ 到集合${\displaystyle X}$ 的单射”的序数${\displaystyle \beta }$ 组成的类。

首先，我们来证明${\displaystyle \alpha }$ 是集合：

1. 由幂集公理，${\displaystyle X\times X}$ 是集合。
2. 再由幂集公理，${\displaystyle {\mathcal {P}}(X\times X)}$ 是集合。
3. 由分离公理，${\displaystyle X}$ 的所有自反良序子集组成的类${\displaystyle W}$ 是集合（因为它是从${\displaystyle {\mathcal {P}}(X\times X)}$ 中分离得到）。
4. 由替换公理可知，${\displaystyle W}$ 中良序集的序类型是集合——该集合正是${\displaystyle \alpha }$ 。

接下来，由于序数的传递集也是序数，因此${\displaystyle \alpha }$ 是序数。更进一步地，不存在从${\displaystyle \alpha }$ 到${\displaystyle X}$ 的单射——否则就会导致${\displaystyle \alpha \in \alpha }$ 的矛盾（因为${\displaystyle \alpha }$ 是序数，这也就是说${\displaystyle \alpha <\alpha }$ ）。最后，${\displaystyle \alpha }$ 也是满足这一性质的最小序数，否则，如果有一序数${\displaystyle \beta <\alpha }$ ，那么${\displaystyle \beta \in \alpha }$ ，也就是说${\displaystyle \exists i:\beta \hookrightarrow X}$ 。

而不存在${\displaystyle \alpha }$ 到${\displaystyle X}$ 的单射也就意味着${\displaystyle \alpha }$ 与${\displaystyle X}$ 的任意子集都不等势。

值得一提的是，在1915年，哈特格斯能够使用的数学工具中既不包括冯·诺伊曼序数也不包括替换公理，因此他的结论是单纯建立在策梅洛集合论上的，导致其与现今的阐述有很大的不同。相反地，他当时考虑的是${\displaystyle X}$ 的良序子集的同构类的集合，以及这一集合上“${\displaystyle A<B}$ 当且仅当${\displaystyle A}$ 同构于${\displaystyle B}$ 的真前段”的关系。哈特格斯证明了存在一个良序集大于${\displaystyle X}$ 的任意良序子集。（这是历史上第一次真正构造出不可数良序集。）然而，他的真正目的其实是证明基数三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（进一步则等价于选择公理）。

• 后继基数（Successor cardinal）
• 阿列夫数

• Hartogs number. [2019-05-20]. （原始内容存档于2017-02-01）. 
• 郝兆宽 杨跃. 集合论：对无穷概念的探索. 复旦大学出版社. 2015-09. ISBN 9787309107104 （中文）.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)