分离公理

在定义分离公理之前，让我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（须注意的是，可分离的集合不一定等同于下一节所定义的“分离空间”。）

分离公理是利用拓扑的方法来分辨不相交的集合及相区别的点。不只要拓扑空间内的元素是相区别的，更要这些元素是“拓扑可区别的”；不只要拓扑空间内的子集是不相交的，更要这些子集是（以某种方式）“可分离的”。分离公理声称，无论如何，若点或集合在某些较弱意思下是可区别的或可分离的，也必须在某些较强的意思下是可区别或可分离的。

设${\displaystyle X}$ 为一拓扑空间，${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ，${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是实数集，定义：

拓扑可区分

${\displaystyle A,B}$ 称为拓扑可区分的，当且仅当${\displaystyle A,B}$ 的邻域系${\displaystyle U(A)}$ 和${\displaystyle U(B)}$ 不相等（即，存在某个${\displaystyle A}$ 的邻域，不是${\displaystyle B}$ 的邻域，或反之）。

可分离

${\displaystyle A,B}$ 称为可分离的，当且仅当${\displaystyle A\cap {\bar {B}}}$ 和${\displaystyle {\bar {A}}\cap B}$ 都为空。（${\displaystyle {\bar {A}}}$ 是${\displaystyle A}$ 的闭包）。注意：${\displaystyle {\bar {A}}\cap {\bar {B}}}$ 可以不为空。

邻域可分离

${\displaystyle A,B}$ 称为邻域可分离的，当且仅当存在${\displaystyle A}$ 的邻域${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle B}$ 的邻域${\displaystyle V}$ ，使得${\displaystyle U\cap V}$ 为空。

闭邻域可分离

${\displaystyle A,B}$ 称为闭邻域可分离的，当且仅当存在${\displaystyle A}$ 的闭邻域${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle B}$ 的闭邻域${\displaystyle V}$ ，使得${\displaystyle U\cap V}$ 为空。

函数可分离

${\displaystyle A,B}$ 称为函数可分离的，当且仅当存在连续函数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ，使得${\displaystyle f(A)=\{0\}}$ ，${\displaystyle f(B)=\{1\}}$ 。

函数完全分离

${\displaystyle A,B}$ 称为函数完全分离的，当且仅当存在连续函数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ，使得${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=A}$ ，${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=B}$ 。

对于${\displaystyle X}$ 中的点${\displaystyle x,y}$ （或点${\displaystyle x}$ 和子集${\displaystyle A}$ ），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合${\displaystyle \{x\}}$ 和${\displaystyle \{y\}}$ （或${\displaystyle \{x\}}$ 和子集${\displaystyle A}$ ）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相区分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更进一步地说，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。

上述条件更详细的叙述(包括分离公理外的用途)，请参见分离集合和拓扑不可区分性等条目。

下面的定义都会直接使用到上面的初步定义。

大部分的分离公理都会有另一个等价的定义。下面所给出的定义会维持一致的模式，以和上一节所定义的许多分离的概念相连结。其他等价的定义则分别写在个别的条目之中。

在下面所有的定义之中，X是一个拓扑空间，所有的函数都假设为连续的。

• X称为T₀空间或“柯尔莫果洛夫空间”，若在X内，任意两个相区别的点皆为拓扑可区分的。

• X称为R₀空间或“对称空间”，若在X内，任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。

• X称为T₁空间、“可及空间”或“弗雷歇空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是可分离的。X为T₁空间，当且仅当X同时为T₀及R₀空间。

• X称为R₁空间或“预正则空间”，若在X内，任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R₁空间必然也是R₀空间。

• X称为T₂空间或“豪斯多夫空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是邻域上可分离的。X为豪斯多夫空间，当且仅当X同时为T₀及R₁空间。豪斯多夫空间必然也是T₁空间。

• X称为T_2½空间或“乌雷松空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是闭邻域上可分离的。T_2½空间必然也是豪斯多夫空间。

• X称为完全豪斯多夫空间或“完全T₂空间”，若在X内，任意两个相区别的点都是函数上可分离的。完全豪斯多夫空间必然也是T_2½空间。

• X称为正则空间，若在X内，给定一点x及一闭集F，则若x不属于F，x和F即为邻域上可分离的（实际上，在一个正则空间里，x和F也同样会是闭邻域上可分离的）。正则空间必然也是R₁空间。

• X称为正则豪斯多夫空间或“T₃空间”，若X同时为T₀及正则空间。正则豪斯多夫空间必然也是T_2½空间。

• X称为完全正则空间，若在X内，给定一点x及一闭集F，则若x不属于F，x和F即为函数上可分离的。完全正则空间必然也是正则空间。

• X称为吉洪诺夫空间、“T_3½空间”、“完全T₃空间”或“完全正则豪斯多夫空间”，若X同时为T₀及完全正则空间。吉洪诺夫空间必然同时也是正则豪斯多夫空间及完全豪斯多夫空间。

• X称为正规空间，若在X内，任意两个相区别的闭子集都是邻域上可分离的（实际上，在正规空间里，任意两个相区别的闭子集也同样会是函数上可分离的；这称为乌雷松引理）。

• X称为正规豪斯多夫空间或“T₄空间”，若X同时为T₁及正规空间。正规豪斯多夫空间必然同时也是吉洪诺夫空间及正规正则空间。

• X称为完全正规空间，若在X内，任意两个相区别的子集都是邻域上可分离的。完全正规空间必然也是正规空间。

• X称为完全正规豪斯多夫空间、“T₅空间”或“完全T₄空间”，若X同时为完全正规及T₁空间。完全正规豪斯多夫空间必然也是正规豪斯多夫空间。

• X称为完美正规空间，若在X内，任意两个相区别的闭子集都是函数上完全分离的。完美正规空间必然也是完全正规空间。

• X称为完美正规豪斯多夫空间、“T₆空间”或“完美T₄空间”，若X同时为完美正规及T₁空间。完美正规豪斯多夫空间必然也是完全正规豪斯多夫空间。

T₀空间很特别，因为它不只可以当做一个性质加在其他空间上（如完全正则空间加上T₀即为吉洪诺夫空间），也可以由某个空间中删去此一性质（如豪斯多夫空间删去T₀即为R₁空间）；更多资讯请见柯尔莫果洛夫商空间。当其应用在分离公理时，便会导致如下表所列的关系：

在表中，利用柯尔莫果洛夫商空间运算，右边的空间加上T₀即为左边的空间，左边的空间删去T₀即为右边的空间。

除了T₀的加上及删去之外，各空间之间的关系则可由下图指明出来：

在图中，无T₀版本的空间在斜线的左边，T₀版本的空间则在斜线的右边。之中的字母代表的意思： P为完美（perfectly）、C为完全（completely）、N为正规（normal）、R为正则（regular）。 黑点代表该空间没有给定名称。

结合两个空间的性质最后会产生的空间可由上图得知，只要看两点向上的分支会交会在哪一点即可。例如，若有一个空间同时为完全正规（CN）及完全豪斯多夫（CT₂）空间，则查看两点向上的分支，会发觉为“•/T₅”。因为完全豪斯多夫空间为斜边的T₀端（即使完全正规空间不是），最后得到的空间便会在斜边的T₀端。亦即，完全正规完全豪斯多夫空间即为T₅空间。

再看一次上图，正规空间及R₀空间结合在一起，由于会经过许多右侧的分支，也意指会产生许多两个空间所没有的其他性质。因为正则性是之中最为人知的性质，结合正规空间及R₀空间而成的空间一般称为“正规正则空间”。基于类似的想法，正规T₁空间通常称为“正规豪斯多夫空间”。上述的惯用名称可以延伸至其他正则空间与豪斯多夫空间之上。

• Michael C. Gemignani; Elementary Topology; general topology, but beware that some use slightly different definitions.