定义
的映射 ( 指 的幂集的幂集)。这样 将 的每个点 映射至 的子集族 。 称为 的邻域系(或称邻域系统, 的元素称为 的邻域),当且仅当对任意的 , 满足如下邻域公理:
- U1:若 ,则 。
- U2:若 ,则 。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
- U3:若 , ,则 。
- U4:若 ,则存在 ,使 且对所有 ,有 。
从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念:
- 从邻域定义开集: 的子集 是开集,当且仅当对任意 ,有 。( 是其中每个点的邻域)。
- 从邻域定义开核: 的子集 的开核 。
- 从邻域定义闭包: 的子集 的闭包 。
参照滤子的定义。给定点x,其邻域系 恰构成了一个滤子,称为邻域滤子。
邻域基
点 的邻域基或局部基 ,就是邻域滤子 的滤子基。它是 的子集,满足:每个x的邻域 都存在 ,使 。
- ( ,使 , )
反之,给出邻域基 ,可以反推出相应的邻域滤子: 。[1]
例子
- 若拓扑空间X是不可分拓扑,则任何点 x 的邻域系是整个空间
- 在度量空间中,对于任何点 x,围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基 。这意味着所有度量空间都是第一可数的。
- 在半赋范空间中,就是带有由半范数引发的拓扑的向量空间,所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的平移来构造,
- 。
- 这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说,只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。
- 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。
- 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。
参见
注释
- ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)